2022秋九年级数学上册 第21章 二次函数与反比例函数21.3 二次函数与一元二次方程 1二次函数与一元二次方程间的关系授课课件（新版）沪科版.ppt

21.3 二次函数与一元二次方程;;以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面的问题．;1.当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的y值为0时，就得到一元 二次方程ax2＋bx＋c＝0 ，抛物线与x轴是否有公共点取 决于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况． (1)当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，抛物 线与x轴有2个公共点； (2)当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线 与x轴有1个公共点；; (3)当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有 公共点．反之亦成立． 2.拓展：如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公 共点A(m，0)，B(n，0)，令 其中Δ＝b2－4ac.此时A，B两点间的距离 我们把 叫做抛物线y＝ ax2＋bx＋c在x轴上的截距．; 例1 求抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个公共点的坐标． 导引：要求抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的公共点的坐标，需 求y＝0时对应的x的值．可令y＝0，根据3x2－8x＋ 4＝0的根来确定抛物线与x轴的公共点的横坐标． 解：令y＝0，则3x2－8x＋4＝0，解方程得x1＝ ,x2＝2. ∴抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个公共点的坐标为 ，(2，0)．;;;;;;;例2 若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，且过点A(m， n)，B(m＋6，n)，则 n＝____． 导引：∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公共点， ∴当 时，y＝0，且b2－4c＝0，即b2＝4c. 又∵抛物线过点A(m，n)，B(m＋6，n)，点A，B关于直 线 对称,∴ 将A 点的坐标代入抛物线对应的函数表达式，得 ∵b2＝4c，∴;;;;例3 已知二次函数y＝2x2－(m＋1)x＋m－1. (1)求证：不论m为何值，函数的图象与x轴总有公 共点，并指出当m为何值时，只有一个公共点． (2)当m为何值时，函数的图象经过原点？ (3)在(2)的图象中，求出y＜0时x的取值范围及y＞ 0时x的取值范围． 导引：要说明二次函数的图象与x轴总有公共点，只要 说明Δ＝b2－4ac≥0即可．; (1)证明：b2－4ac＝[－(m＋1)]2－4×2(m－1)＝m2＋ 2m＋1－8m＋8＝m2－6m＋9＝(m－3)2. 显然不论m为何值，总有b2－4ac＝(m－3)2≥0， 且当m＝ 3时，b2－4ac＝0. 故不论m为何值，抛物线与x轴总有公共点， 且当m＝3时， 只有一个公共点． (2)解：∵函数的图象经过原点(0，0)， ∴0＝2×02－(m＋1)×0＋m－1，∴m＝1. 即当m＝1时，函数的图象经过原点． (本问也可直接由m－1＝0得出); (3)解：由(2)得y＝2x2－2x，其图象如图所示． ∵抛物线与x轴的两个公共点的坐标分别为 (0，0)，(1，0)， ∴当y＜0时，0＜x＜1； 当y＞0时，x＜0或x＞1.;总 结;已知关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴 有公共点． (1)求k的取值范围． (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个公共点的横坐标，且 满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2. ①求k的值； ②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值 和最小值．;Δ=b2-4ac