2022秋九年级数学上册 期末提分练案 第6讲 相似三角形的判定及性质第5课时 技巧训练 证比例式或等积式的七种常用技巧习题课件（新版）北师大版.ppt

7．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证： 证明：由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°. ∵BE平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE. ∴△BDF∽△BAE.∴ ∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA. ∴△ABC∽△DBA. ∴ 8．如图，在?ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证： (1)△AMB∽△AND； 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D. ∵AM⊥BC，AN⊥CD， ∴∠AMB＝∠AND＝90°. ∴△AMB∽△AND. 证明：由△AMB∽△AND得 ，∠BAM＝∠DAN. 又∵AD＝BC， ∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠MAD＝∠AMB＝90°. ∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°. ∴∠B＝∠MAN. ∴△AMN∽△BAC.∴ 习题链接 技巧训练 提升训练 拓展训练 思想训练 综合训练 习题链接 技巧训练 第6讲　相似三角形的判定及性质 第5课时　技巧训练 证比例式或等积式的七种常用技巧 期末提分练案 提示：点击 进入习题 答案显示 1 2 3 4 见习题 5 见习题 见习题 6 7 8 9 见习题 见习题 见习题 10 见习题 见习题 见习题 见习题 11 12 答案显示 见习题 见习题 1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F.求证：AE·CF＝BF·EC. 证明：过点C作CM∥AB，交DF于点M. ∵CM∥AB，∴∠FCM＝∠B，∠FMC＝∠FDB. ∴△CMF∽△BDF. ∴ 又∵CM∥AD，∴∠A＝∠ECM，∠ADE＝∠CME. ∴△ADE∽△CME. ∴ ∵D为AB的中点，∴BD＝AD. ∴ ，即AE·CF＝BF·EC. 2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F. 求证：AB·DF＝BC·EF. 【点拨】利用相似三角形证明等积式或者比例式的一般方法，把等积式或者比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式或比例式．特别地，当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式． 3．如图，在?ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于点F.求证： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥DC，∠A＝∠C. ∴∠CDF＝∠E. ∴△FCD∽△DAE. 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于点D，交AB于点E. 求证：AM2＝MD·ME. 【点拨】是证明线段等积式或比例式时找相似三角形的最常用且最有效的方法，它就是设法找出比例式或等积式中(或转化后的式子中)所蕴含的几个字母，看是否可由“三点”确定两个相似的三角形． 证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°. ∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D. 又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM. ∴∠B＝∠BAM. ∴∠BAM＝∠D，即∠EAM＝∠D. 又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA. ∴ ，即AM2＝MD·ME. 5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N. 求证：BP·CP＝BM·CN. 证明：如图，连接PM，PN. ∵MN是AP的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°. ∴∠2＋∠4＝60°. ∴∠5＋∠6＝120°. 又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，∴∠5＝∠7. ∴△BPM∽△CNP. ∴ ，即BP·CP＝BM·CN. 6．如图，P是?ABCD的边BC延长线上一点，AP分别交BD和CD于点M和N.求证：AM　2＝MN·MP. 【点拨】利用平行线得到角相等，从而判定三角形相似，再由相似三角形对应边的比相等，可求某些线段的长或证明比例式和等积式．当直接利用相似三角形对应边的比相等或平行线截得的对应线段成比例无法解决时，可找中间比进行过渡，而找“中间比”是证比例关系常用的方法． 证明：∵AB∥DN，∴∠MBA＝∠MDN，∠MAB＝∠MND. ∴△AMB∽△NMD. ∴ 又∵AD∥BP，∴∠MAD＝∠P，∠MDA＝∠MBP. ∴△BMP∽△DMA. ∴ ∴AM2＝MN·MP. 习题链接 技巧训练 提升训练 拓展训练 思想