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三、计算机科学中的数学 1976年以后，中国数学家吴文俊开辟了一条定理机器证明的代数化途径。吴文俊的方法将要证明的问题归结为纯代数问题，并有一整套高度机械化的代数关系整理程序。 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第59页。 利用这一方法已经实现了初等几何主要定理的机器证明（1977），并且证明了初等微分几何中一些主要定理的证明也可以机械化。吴文俊的方法形成了中国特色，国际上称为“吴方法”，使中国学者在数学机械化领域处于领先地位。 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第60页。 第十三章 20世纪数学概观（Ⅲ）现代数学成果十例 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第61页。 13.1 哥德尔不完全性定理 哥德尔第一不完全性定理：任一足以包含自然数算术的形式系统，如果是相容的，则它一定存在有一个不可判定命题，即存在某一命题A，使A与A的否定在该系统中皆不可证。 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第62页。 13.1 哥德尔不完全性定理 哥德尔第二不完全性定理：在真的但不能由公理来证明的命题中，包括了这些公理是相容的（无矛盾的）这一论断本身。也就是说，如果一个足以包含自然数算术的公理系统是相容的，那么这种相容性在该系统内是不可证明的。 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第63页。 13.6四色问题 四色问题也叫四色猜想或四色定理，1852年首先由一个英国青年大学生古德里提出。古德里在给一张英国地图着色时猜测：为了给任意一张平面地图着色，并使任何具有公共边界线的区域颜色不同，至多需要4种颜色。 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第64页。 13.6四色问题 古德里将这一发现告诉了他的老师、著名数学家德摩根，希望帮助找到证明。但德摩根也不能证明，就请教发明四元数的哈密顿，却未引起重视。 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第65页。 四色问题有一个令人迷惑的地方：在更复杂的曲面上，问题解决反倒容易。到1968年，数学家们已经解决了除平面和球面以外所有曲面上的地图四色问题，恰恰是平面和球面（地球仪）这种最简单的情形，却呈现出奇特的困难。 13.6四色问题 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第66页。 直到1976年6月，美国伊利诺大学的哈肯和数学家阿佩尔，采用新的计算机实验方法，并在计算机程序专家的帮助下，证明了四色问题。 13.6四色问题 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第67页。 13.9 费玛大定理的证明 这条表述及其简明的定理，自从三百多年前被费玛提出以来，曾吸引了像欧拉、高斯、柯西、勒贝格等这样一些大师试过身手却始终悬而未决。最终由英国数学家威尔斯完成。 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第68页。 13.9 费玛大定理的证明 从1986年开始威尔斯投入到费玛大定理的证明中。1993年6月，威尔斯在英国剑桥大学的一次学术讨论会上报告了自己的结果，但有漏洞，到1994年9月，漏洞终于补上并通过权威的审查，这个有三百多年历史的数学难题终于获得了解决。 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第69页。 13.9 费玛大定理的证明 威尔斯1994年刚过40岁，这使他错过了获得菲尔兹奖的机会，不过，1996年他成为迄今最年轻的沃尔夫奖得主。 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第70页。 13.10 若干著名未决猜想的进展 哥德巴赫猜想：每个偶数是两个素数之和；每个奇数是三个素数之和。 哥德巴赫猜想自1742年被提出以来，已历时两个半世纪之多，但对这一猜想的研究，直到20世纪才有本质性的进展。 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第71页。 思考题 数学基础的三大学派是什么? 现代数理逻辑的四大分支是什么？ 数学向其他科学渗透表现在哪些方面？ 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第72页。 罗素悖论曾被以多种形式通俗化，其中最著名的是罗索于1919年给出的，它讲的是某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他只给不自己刮胡子的人刮胡子。 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第27页。 当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡子。 7现代数学(二)20世纪数学概观全文共72页，当前为第28页。 德国数学家策梅洛等人进一步指出不仅集合论，而且整个经典分析都包含着悖论。 为了消除这种悖论，数学家们首先想到了公理化思想。 7现代数学(二)20