04-1若干数学观点中的数学文化.ppt

* 1. 集合上的可逆变换 设M是一个集合，则M到自身的一个映射 称为“M上的一个变换”；M到自身的一个可逆 映射称为“M上的一个可逆变换”。 04-1若干数学观点中的数学文化全文共45页，当前为第31页。 * 2.子集的对称 M N 考虑M上的有特点的可逆变换 04-1若干数学观点中的数学文化全文共45页，当前为第32页。 * 变中有不变，“变”,是指集合M上有特点的一些可逆变换,每个可逆变换 都“改变”了集合M中的元素和子集.这里的“不变”,是指对于M的一个具体的子集N,有些 在整体上保持N不变,即 称这样的 为“N的对称变换”.把所有这样的“对称变换”放到一起,构成一个集合,记为 称为“N的对称集”，用来描述N的对称性。 与 对照，基本精神是一致的。 04-1若干数学观点中的数学文化全文共45页，当前为第33页。 * 3. 小结 这里用大量篇幅，从特殊到一般，把“对称”的本质抽象出来，定义了数学意义上的对称；又从一般到特殊，用抽象观点来返观客观实际中“对称”的例子，看到抽象观点与感性认识是吻合的。所以说，抽象来源于直观，高于直观，而且能反映直观，指导直观，并通过直观来检验。这是一种数学方式的理性思维。这一点在哲学上的叙述为：理论来源于实践，高于实践，而且能反映实践，指导实践，并通过实践来检验。 04-1若干数学观点中的数学文化全文共45页，当前为第34页。 * 四、对称变换群 上面把“对称”这一概念，用集合及 变换的语言严格叙述出来了，并由 此给出了“子集N的对称变换”和“子 集N的对称集 ”的概念，并用它们来描 述N的对称性。 04-1若干数学观点中的数学文化全文共45页，当前为第35页。 * 子集 的对称集 ，不是一个普 通的集合，而是一个具有代数结构的集合。它 的结构表现在： 中有运算，即 S(N) 中任意两个 元素的相继作用，记为 ；运算还有规律， 这些规律如下： 04-1若干数学观点中的数学文化全文共45页，当前为第36页。 * ①S(N)中任意两个元素 , 相继作用的结果仍保持N整体不变，故 仍在S(N)中,称之为S(N)中的运算满足封闭律(一般说“运算”,就 隐含封闭,为强调,单列一条)； ②S(N)中任意三个元素 ， ， 的运算， 是先做 的运算还是先做 的运算，效果是一样的，即（ ） = ( ), 称之为S(N)中的运算满足结合律； 04-1若干数学观点中的数学文化全文共45页，当前为第37页。 * ③S(N)中总有一个特殊的元素即恒等变换，它如同数的乘法中的1，与任何元素作运算都保持该 元素不变，称之为S(N)中的运算满足幺元律； ④对S(N)中任一元素 ，S(N)中一定有一个元素 ，使 与 相继作用的效果，恰相当于③中的恒等变换，即不动， 称为 的逆元，这称为 S(N)中的运算满足逆元律。 N的对称集S(N) 叫作“N的对称变换群”。“对称即群” 04-1若干数学观点中的数学文化全文共45页，当前为第38页。 * 五、群的定义 定义 设G是一个带有运算“ ”的非空集合，且其中的运算满足以下四个条件，则称{G； }是一个群 ②结合律 有 ①封闭律 有 ③幺元律 存在 使 ， 有 ，称 为幺元； ④逆元律 ，存在 ，使 称b为a的逆元。 群{G； }也简记为G 04-1若干数学观点中的数学文化全文共45页，当前为第39页。 * 与 “N的对称变换群”S(N) 相对照 04-1若干数学观点中的数学文化全文共45页，当前为第40页。 * 举 例 04-1若干数学观点中的数学文化全文共45页，当前为第41页。 * 应 用 在晶体分类上的应用 (230种) 用变换群下不变量的观点统一地考察几何学 在讨论“5次方程根式解”问题上的应用 04-1若干数学观点中的数学文化全文共45页，当前为第42页。 * 群 在讨论“5次方程根式解”上的应用 1.伽罗瓦探寻“方程可用根式解”的总思路： 不再去寻找求根公式，而是从“根集的置换”的角度去考虑问题。