用一元一次方程解决行程问题教学设计.docx

“用一元一次方程解决行程问题”教学设计 新北实验中学数学组 严云霞 数学解决问题的策略有很多种，其中画线段图建立模型是最基本的一种。行程问题的类 型较多，数量关系也比较复杂。所以利用线段模型，把抽象的数学问题具体化，把复杂问题简单化，可以帮助我们准确找到其中的数量关系。 行程问题中，相遇、追及又是两种最基本的模型． 相遇问题： 甲、乙二人分别由距离为 S 的 A 、 B 两地同时相向行走，甲速为 V ， 甲 乙速为 V ，设经过 t 时间后，二人相遇于 C ．则有 乙 S=V t +V t，即：S +S = S 甲 乙 甲 乙 总 追及问题： 甲、乙二人分别由距离为 S 的 A 、 B 两地同时同向 ( 由 A 到 B 的方向 ) 行走．甲速 V 大于乙速 V ，设经过 t 时间后，甲可追及乙于 C ，则有 甲 乙 S=V t－ V t，即： S -S = S 甲 乙 甲快 乙慢 追及 利用一元一次方程及二元一次方程组所解的行程问题，大体都可纳入相遇或追及两种模型． 类型一：用线段模型分析问题，并用一元一次方程解决相遇问题 例 1：小明家和小华家相距 5km，两人骑自行车的速度分别为12km/h 和 8km/h.如果原计划两人同时从家里出发，相向而行，那么经过多久两人相遇？ 小明家 A 小华家 B 思路分析：利用线段模型分析问题，AB 总长为 5km，AC=12t，BC=8t。 12t 8t 小明家 A 小华家 5 C B 根据相遇问题的等量关系：S 甲 +S = S ， 乙 总 可列方程：12t+8t=5 1 t= 4 1 答：经过 4 h 两人相遇。 设计意图： 1 PAGE PAGE 6 小明家和小华家相距 5km，两人骑自行车的速度分别为 12km/h 和 8km/h. 变式一：如果小明因故在小华出发 15min 后才从家里出发，两人相向而行，小明出发多久后两人相遇？ 思路分析：利用线段模型分析问题，尽管问题复杂化，但在线段模型中 AB 总长为 5km， 1 AC=12t 不变，发生变化的是BC=8（t+ 4 ）。 小明家 12t 8t A C 5 8 1 4 小华家 D B 根据相遇问题的等量关系：S 甲 +S = S ， 乙总1 乙 总 可列方程：12t+8（t+ 4 ）=5 3 t= 20 3 答：经过 20 h 两人相遇。 小结：1、画线形示意图有何优点？ 构造线段模型表示数量关系，用和差表示相等关系。 它可以帮助我们理解题意，将实际问题转化为数学问题，使寻找相等关系的过程更直观。 小明家和小华家相距 5km，两人骑自行车的速度分别为 12km/h 和 8km/h. 变式二：如果两人同时从家里出发，相向而行，小明出发多久后两人相距2km？ 小明家 A 小华家 B 思路分析:与上题相比，发生变化的是两人相距2km，此时应根据线段模型进行分类。 （1） 相遇前两人相距 2km 小明家 A  12t 8t 2 小华家 C D B 5 根据线段模型和相遇的等量关系： 方程可列为 12t+8t=5-2 3 解得t= 20 （2） 相遇后两人相距 2km 根据线段模型和相遇的等量关系： 方程可列为 12t+8t=5+2 7 解得t= 20 归纳：认真审题，划关键词句、关注需要分类的问题； 行程问题通过画线段图找等量关系。 类型二：用线段模型分析问题，并用一元一次方程解决追及问题 小明家和小华家相距 5km，两人骑自行车的速度分别为 12km/h 和 8km/h. 变式三：如果两人同时从自己家直接前往训练场地，小华家在小明家和训练场地之间，小华以 8km/h 的速度前进，同时小明以 12km/h 的速度去追，他需要多久才能追上小华？ 58tA小明家B 12t小华家C追及处思路分析：利用线段模型分析问题， 5 8t A 小明家 B 12t 小华家 C 追及处 根据线段模型与追击问题的等量关系S 快 -S = S 慢 追及 可列方程 12t-8t=5 5 解得t= 4 5 答：他需要 4 h 才能追上小华 变式四：如果两人同时从小明家出发（速度已经改变），准备出发时小明发现自行车坏了，怕耽误时间便让小华先走，小华匀速前行，半个小时后小明修好自行车立即从家里出发，并用 15min 从原路追上小华，已知小明的速度比小华的速度快 10km/h，小明骑车的速度是多 少 km/h？ 1 x 1 x 2 4 A 小明家 5 B 5 1 (x ?10) 4 C 追及处 根据线段模型与追击问题的等量关系S 快 -S = S 慢 追及 1 (x ?10) ? 1 x ? 1 x 可列方程 4 4 2 模型总结： 一、行程问题的常见模型：相遇问题、追及问题、环行跑道问题 （可转化为相遇问题或追及问题） 1、 相遇问