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* * * * Qiu canhua, Tongji University Qiu canhua, Tongji University 报童模型Newsboys Model 邱灿华 同济大学经济与管理学院 6-报童问题解析全文共18页，当前为第1页。 报童问题 一名报童以每份0.20元的价格从发行人那里订购报纸，然后再以0.50元的零售价格出售。但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而只是根据以前的经验，知道需求量具有均值为50份、标准偏差为12份的正态分布。那么他应当订购多少份报纸呢？ 6-报童问题解析全文共18页，当前为第2页。 约会问题 您要与您的女朋友/男朋友晚上六点钟在她/他家附近的一个地方约会。您估计从您的办公室乘车过去所用的平均时间是30分钟，但由于高峰期会出现交通阻塞，因此还会有一些偏差。路程所用时间的标准偏差估计为10分钟。虽然很难量化您每迟到一分钟所造成的损失，但是您觉得每晚到1分钟要比早到1分钟付出十倍的代价。那么您应当什么时候从办公室出发呢？ 6-报童问题解析全文共18页，当前为第3页。 超额预售机票问题 一家航空公司发现，一趟航班的持有机票而未登机（“不露面”）的人数具有平均值为20人、标准偏差为10人的正态分布。根据这家航空公司的测算，每一个空座位的机会成本为100美元。乘客确认票后但因满座不能登机有关的罚款费用估计为400美元。该航空公司想限制该航班的“超额预订”。飞机上共有150个座位。确认预订的截止上限应当是多少？ 6-报童问题解析全文共18页，当前为第4页。 有不确定因素的决策问题 这三个问题有以下几个方面的共同点： 都有一个决策变量 X (报纸供应量；出发时间；多预售的座位）和一个随机变量 Y (报纸需求量；实际路程时间；持票而未登机人数）。这两个变量共同决定结果。但是我们必须先选定 X 的数值，然后才能看到Y的数值。 都有一个 X 大于 Y 的单位成本（过量成本） (未售出的报纸；一名因客满而未能乘机的乘客；提前一分钟）。 都有一个Y 大于X 的单位成本（不足成本）(差一份报纸；一个空座；晚到一分钟）。 都需要测算 Y 的概率分布。 6-报童问题解析全文共18页，当前为第5页。 公式推导 销售最后一件所得的收益大于或等于最后一件未被售出时所带来的损失。 P{YX*} 表示需求Y大于X*的概率。 P{YX*} 表示需求Y小于X*的概率。 CuP{YX*} 第X*件产品售出时所带来的收益； CoP{YX*} 第X*件产品未售出时所带来的损失。 6-报童问题解析全文共18页，当前为第6页。 解法 缺货成本= Cu = 单位销售额-单位成本 过量成本 ＝Co ＝原始单位成本-单位残值 该解法就是确定X的值 使Y 大于 X 的概率等于 “临界比率”。 注意到 X* 会随着 cu 增加而增加。 X* 会随着 co 增加而减少。 最优解是 X* ，满足以下等式： 6-报童问题解析全文共18页，当前为第7页。 报童问题的解 co = 0.20元， cu = 0.5 - 0.2 = 0.30元。最佳的 X* 应满足： 根据正态表， z = 0.25。因此， X* = 50 + 0.25(12) = 53 份. 6-报童问题解析全文共18页，当前为第8页。 约会问题 您要与您的女朋友/男朋友晚上六点钟在她/他家附近的一个地方约会。您估计从您的办公室乘车过去所用的平均时间是30分钟，但由于高峰期会出现交通阻塞，因此还会有一些偏差。路程所用时间的标准偏差估计为10分钟。虽然很难量化您每迟到一分钟所造成的损失，但是您觉得每晚到1分钟要比早到1分钟付出十倍的代价。那么您应当什么时候从办公室出发呢？ 6-报童问题解析全文共18页，当前为第9页。 约会问题的解法 设 X 为允许的路程时间，设 Y 为实际路程时间。 X Y 就意味着会比约定时间晚到，因此, cu = 10co. 最佳的 X* 应当满足 根据正态表， z = 1.34 ，因此， X* = 30 + 1.34(10) = 43.4. 您应当在下午5点16分出发。 6-报童问题解析全文共18页，当前为第10页。 超额预售机票问题 一家航空公司发现，一趟航班的持有机票而未登机（“不露面”）的人数具有平均值为20人、标准偏差为10人的正态分布。根据这家航空公司的测算，每一个空座位的机会成本为100美元。乘客确认票后但因满座不能登机有关的罚款费用估计为400美元。该航空公司想限制该航班的“超额预订”。飞机上共有150个座位。确认预订的截止上限应当是多少？ 6-报童问题解析全文共18页，当前为第11页。 超额预售问题的解法 设 X 为超额预售的机票数，设 Y 为有票没来的人数。 X Y 就意味着超额预售的机票数