新人教2019版高中数学选择性必修一课后习题合集（含答案）.docx

第 第 PAGE \* MERGEFORMAT 1 页 共 NUMPAGES \* MERGEFORMAT 266 页 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1．1空间向量及其线性运算 例1 如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点O作射线，，，，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使．求证：E，F，G，H四点共面． 图11-9 分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量运算由，，共面的表达式推得，，共面的表达式． 证明：因为．所以 ，，，． 因为四边形是平行四边形，所以 ． 因此 由向量共面的充要条件可知，，，共面，又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面． 练习 1. 举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例． 【答案】实例见解析； 【解析】 【分析】在空间几何体中，从一点出发的不同面的向量即可. 【详解】在三棱锥中，，，不同在一个平面内； 长方体中，从一个顶点A引出的三个向量，，不同在一个平面内. 2. 如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 3. 在图中，用，，表示，及． 【答案】；；. 【解析】 【分析】根据空间向量的加减运算法则可转化. 【详解】， ， . 4. 如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量； （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 5. 如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中x，y的值： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）化简即得解； （2）化简即得解； （3）化简即得解. 【详解】（1），所以； （2）， 所以； （3） , 所以. 1.1.2空间向量的数量积运算 例2 如图1.1-12，在平行六面体中，，，，，．求： 图1.1-12 （1）； （2）的长（精确到0.1）． 解：（1）， ； （2） ， 所以． 例3 如图1.1-13，m，n是平面内的两条相交直线．如果，，求证：． 图11-13 分析：要证明，就是要证明l垂直于内的任意一条直线g（直线与平面垂直的定义）．如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题． 证明：在平面内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量，，，． 因为直线m与n相交，所以向量，不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使 ． 将上式两边分别与向量作数量积运算，得 ． 因为，（为什么？），所以． 所以． 这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线，所以． 练习 6. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答. 【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，， 令，则，而，， 于是得， 因此，， 所以与所成角的大小为. 故选：B 7. 如图，正方体的棱长为1，设，，，求： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）0；（2）1；（3）1 【解析】 【分析】在正方体中，根据线线关系，结合空间向量运算法则对每个小题进行运算即可. 【详解】（1）在正方体中，， 故 （2）由（1）知， （3）由（1）及知， 8. 如图，在平行六面体中，，，，，．求： （1）； （2）的长； （3）的长． 【答案】（1）10；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义即可计算； （2）由平方即可求解； （3）由即可求解. 【详解】（1）； （2）， ， ，即的长为； （3）， ， ，即的长为. 9. 如图，线段AB，BD在平面内，，，且，，．求C，D两点间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可得，根据可求. 【详解】连接，，， ，，， ，， 即C，D两点间的距离为. 习题1.1 复习巩固 10. 如图，在长方体中，E、F分别为棱、AB的中点． （1）写出与向量相等的向量； （2）写出与向量相反的向量； （3）写出与向量平行的向量． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由相等向量的定义可判断； （2）由相反向量的定义可判断； （3）由