2010-2020全国高中数学联赛试卷汇编.pdf

第1讲 2010年全国高中数学联赛 填空题（每小题8分，共64分） 检测题 1 函数f x x 5 24 3x 的值域是 ． 2 2 已知函数y acos x 3 sinx 的最小值为 3 ，则实数a 的取值范围是 ． 3 双曲线x2 y2 1 的右半支与直线x 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数 的点）的个数是 ． 4 已知a 是公差不为 0 的等差数列，b 是等比数列，其中 a 3b 1a b 3a b ，且存在 n n 1 1 2 2 5 3 常数 使得对每一个正整数n 都有an log bn ，则 ． 第1讲 2010年全国高中数学联赛 1 5 函数f x a2x 3ax 2 a 0a ̸ 1 在区间x 1 1 上的最大值为 8. 则它在这个区间上的最小 值是 ． 6 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮由另一人投 掷．先投掷人的获胜概率是 ． 7 正三棱柱ABC A B C 的9 条棱长都相等，P 是 CC 的中点，二面角B A P B ，则sin 1 1 1 1 1 1 ． 8 方程x y z 2010 满足x ⩽ y ⩽ z 的正整数解（x yz ）的个数是 ． 2 第1讲 2010年全国高中数学联赛 解答题（例9题16分，例10题20分，例11题20分，本题满分56分） 检测题 9 3 2 ′ 已知函数f x ax bx cx d a ̸ 0 ，当0 ⩽ x ⩽ 1 时，f x ⩽ 1，试求a 的最大值． 10 已知抛物线y2 6x 上的两个动点A x y 和B x y ，其中x ̸ x 且x x 4 ．线段AB 的垂直 1 1 2 2 1 2 1 2 平分线与x 轴交于点C ，求△ABC 面积的最大值． 第1讲 2010年全国高中数学联赛 3 11 证明：方程 2x3 5x 2 0 恰有一个实数根 r ，且存在唯一的严格递增正整数数列 a ，使得 n 2 ra1 ra2 ra3 ． 5 加试（例12题40分，例13题40分，例14题50分，例15题50分） 检测题 12 如图，锐角三角形ABC 的外心为 O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线 上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OKMN ，则A B D C 四点 共圆． 4 第1讲 2010年全国高中数学联赛 1 13 1 ⌈ ⌉ l (l 1 设k 是给定的正整数，r k ．记f r f r r