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2012 年考研数(一)试题答案速查
一、选择题
(1)C (2)A (3)B (4)D (5)C (6)B
(7)A (8)D
二、填空题
(9) ex (10) π 2
3
(11) i ? j ? k (12)
312
3
(13) 2 (14)
4
三、解答题
略.
(1, 0) 为极大值点,极大值为e
? 1 ? 1
2 . (?1, 0) 为极小值点,极小值为?e 2 .
? 1? x2
? 2 2
? 1 ln 1? x , x ? (?1, 0) ?(0,1),
(17) S (x) ? ?(1? x ) x 1? x
?? ? ? x ? 0.
?
π
(18) f (t) ? ln(sec t ? tan t) ? sin t ,面积 S ? .
4
π
(19)
2
? 4 .
(20)(Ⅰ)1? a4 .(Ⅱ) a ? ?1, x ? k (1,1,1,1)T ? (0, ?1, 0, 0)T , k 为任意常数.
1312
1
3
1
2
1 ?
6 ?
?
?
13?
1
3
?1
2
? 1 ? 2 2
(21)(Ⅰ) a ? ?1 .(Ⅱ)正交变换矩阵Q ? ?
6 ? ,标准形 f
? 2 y2 ? 6 y3 .
?132 ?6
?1
3
2 ?
6 ?
?
1
(22)(Ⅰ)
4
.(Ⅱ) ? .
16π?2
1
6π?
2
z2
?
0?
0
?
2 1 n
(23)(Ⅰ) f (z;?2 ) ?
e 6?2 .(Ⅱ)??
? ? Z 2 .(Ⅲ)略.
i3n i?1
i
2012 年全国硕士研究生入统一考试
数(一)参考答案
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上.
【答案】C.
【解答】由曲线方程及渐近线的定义可知,
【解答】由曲线方程及渐近线的定义可知, y ?
x2 ? x
x(x ? 1)
x2 ?1 (x ?1)(x ?1)
?
,故
lim y ? lim
x ? x ?1?
x
x?1
x?1 ? x ?1?? x ?1? x?1 ?x ?1?
? lim
? ?,
所以 x ? 1 为垂直渐近线;
又由
又由lim y ? lim
x ? x
2
x??
x?? x2 ?1
? lim x ? 1 ,故 y ? 1为水平渐近线,无斜渐近线,故曲线渐近线
1? 1
x?? 1
1?
x2
的条数为 2,所以选 C.
【答案】A.
【解答】解法一:因为
f
f (0) ? lim
x?0
f (x) ? f (0)
x
? lim
x?0
(e x ?1)(e 2x ? 2) ?(e nx ? n) ?
x
?
(e ?1)
x
x
,
lim( e ? 2)?(e ? n)? ? (
?
2 x
nx
n ?1
x?0
?1) ( n? 1)!
解法二:记 g?x?
解法二:记 g?x? ? ?e2x ? 2???enx ? n?, 则 f ?x? ? ?ex ?1?g?x?, 于是
f ??x? ? ex g?x?? ?ex ?1?g??x?,
则 f ??0? ? g?0? ? ??1?n?1 ?n ?1?!, 所以选 A.
【答案】B.
f (x, y)
【解答】设
lim
2 2( x, y )?(0,0) x ? y
2 2
? k ,由于 f (x, y) 在(0, 0) 处连续,则 f (0, 0) ? 0 ,故
lim
x?0
f (x, 0) ? f (0, 0)
x
? lim
x?0
f (x, 0)
x
? lim
x?0
kx 2
x
? 0 ,同理lim
y?0
f (0, y) ? f (0, 0)
y
? 0 ,
故 lim
f (x, y) ? 0 ? 0 ? x ? 0 ? y ?
x2 ?
x2 ? y2
? 0 ,则 f (x, y) 在点(0, 0) 处可
x2 ? y2( x, y )?(0,0) ( x,
x2 ? y2
微,所以答案选 B.
排除法
排除法. 对于(A),取函数 f ?x, y? ? x ? y , 满足题设条件,但在点?0,0?不可微;
对于
对于(C)、(D),取函数 f ?x, y? ? 1, 满足题设条件,但lim
1
x?0 x ? y x?0 x2 ? y2
和lim
1
都不存
y?0
y?0
在.
【答案】D.
π?
π
?
1
π
0
0
3
3π
2
x
3π
?
2
x
π
?
2
x
3π
I ? ? e sin xdx ? e sin xdx ? e s
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