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2019 年全国硕士研究生入统一考试
数(二)
(目代码:302)
(考试时间:上午 830-1130)
考生注意事项
答题前,考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号;在答题卡指定位置填写报考 单位、考生姓名和考生编号,并涂写考生编号信息点。
选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上,非选择题的答案必须书写在答题卡指定 位置的边框区域内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题册上答题无效。
填(书)写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写,字迹工整、笔迹清楚;涂写部分必须 使用 2B 铅笔填涂。
考试结束,将答题卡和试题册按规定交回。
2019 年全国硕士研究生入统一考试数(二)试题
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
当 x ? 0 时,若 x ? tan x 与 xk 是同阶无穷小,则 k ? ( )
(A) 1. (B) 2.
(C) 3. (D) 4.
π 3
设函数 y ? x sin x ? 2 cos x(? ?x?
2 2
π) 的拐点( )
(A)
π π
( , ).
2 2
(B) (0, 2).
3π 3π
(C) (π, ?2).
下列反常积分发散的是( )
(D)
( , ? ).
2 2
(A)
?? xe? xdx
?0
?
?? xe? x2 dx
?0
?
?? arctan x
?? x
?0
1? x2 dx
?0
1? x2 dx
已知微分方程 y ? ? ay? ? by ? cex 的通解为 y ? (C ? C x)e? x ? e x ,则 a, b, c 依次为
1 2
( )
(A)1, 0,1 (B)1, 0, 2
(C) 2,1, 3 (D) 2,1, 4
( 5 ) 已 知 积 分 区 域
D ? {(x, y) | x ? y
π , I
? ??
x2 ? y 2 dxdy ,
1 2 3?}12 D
1 2 3
?
}
1
I2 ? ?? sin
D
x 2 ? y 2 dxdy , I3 ? ?? (1? cos
D
x 2 ? y 2 )dxdy ,试比较 I , I , I 的大小( )
(A) I3 ? I2 ? I1
(B)
I1 ? I2 ? I3
I2 ? I1 ? I3
I2 ? I3 ? I1
f (x) ? g(x)
( 6 ) 已知
f (x), g(x) 的二阶导数在 x ? a 处连续, 则 lim
x?a
(x ? a)2
? 0 是曲线
y ? f (x), y ? g (x) 在 x ? a 处相切及曲率相等的( )
(A)充分非必要条件. (B)充分必要条件.
(C)必要非充分条件. (D)既非充分又非必要条件.
设 A 是四阶矩阵, A* 是 A 的伴随矩阵,若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2
个向量,则 A* 的秩是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
设 A 是3 阶实对称矩阵, E 是3 阶单位矩阵. 若 A2 ? A ? 2E ,且 A ? 4 ,则二次型
xT Ax 规范形为( )
1 2 31 2 3(A) y2 ? y2 ? y2 . (B) y2 ? y2 ? y2
1 2 3
1 2 3
1 2 31 2 3(C) y2 ? y2 ? y2 . (D) ? y2 ? y2 ? y
1 2 3
1 2 3
二、填空题:9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分.
2
lim(x ? 2x ) x ? .
x?0
??x ? t ? sin t 3
?
曲线
? y ? 1? cos t 在t ? 2?对应点处切线在 y 轴上的截距 .
y2 ?z ?z
设函数 f (u) 可导, z ? yf ( x ) ,则 2x ?x ? y ?y ? .
?
设函数 y ? ln cos x(0 ?x ?
x sin t 2
) 的弧长为 .
6
1
已知函数 f (x) ? x?1
t dt ,则?0 f (x)dx ? .
? 1 ?1 0 0 ?
? ?2 1 ?1 1 ?
) 已知矩阵 A ? ? ? , A 表示| A | 中 (i, j) 元的代数余子式, 则
? 3 ?2 2
?1? ij
? ?? 0 0 3 4
? ?
A11 ? A12 ? .
三、解答题:15~23 小题,共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)
??x2 x , x ? 0,
已知 f (x) ? ?
??xex ?1, x?0,
求 f ?(x) ,并求 f (x)
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