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马尔可夫链;;; 马尔可夫链是最简明的马尔可夫过程, 它是状态、时 间都是离散量的马尔可夫过程. 它有极为深厚的理论基础,如拓扑学、函数论、泛函分析、 近世代数和几何学; 又有广泛的应用空间,如近代物理、随机 分形、公共事业中的服务系统、电子信息、计算机技术等. 自然界很多现象遵从这样的演变规则:由时刻t0系统或 过程所处的状态(现在)可以决定系统或过程在时刻t＞t0 所处的状态(将来),而无需借助于t0以前系统或过程所处 状态(过去)的历史资料. 如微分方程初值问题即属于此.;本章主要内容;§2.1 马尔可夫链的概念及转移概率;利用积事件的概率及上述定义知: P{X0=i0,X1=i1,…,Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…, Xn-1=in-1} =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} =… =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1|Xn-2=in-2}…P{X1=i1| X0=i0}P{X0=i0}. 即马尔可夫链的统计特性完全由条件概率 P{Xn+1=in+1|Xn=in} 所决定. 如何确定这个条件概率,是马尔可夫链理论和应 用中的重要问题之一.;2.转移概率 条件概率P{Xn+1=j|Xn=i}的直观含义是:系统在时刻n处 于状态i的条件下,在时刻n+1系统处于状态j的概率.这相 当于随机游动的质点在时刻n处于状态i的条件下,下一步 转移到状态j的概率. 定义2.2 称条件概率 pij(n)=P{Xn+1=j|Xn=i} 为马尔可夫链{Xn,n∈T}在时刻n的一步转移概率,简称 为转移概率,其中i,j∈I. 一般, 转移概率pij(n)不仅与状态i,j有关,而且与时刻 n有关.当pij(n)不依赖时刻n时,表示马尔可夫链具有平稳 转移概率.;定义2.3 若对任意的i,j∈I, 马尔可夫链{Xn,n∈T} 的转移概率pij(n)与时间n无关,则称马尔可夫链是齐 次的,(亦称是时齐的,即具有平稳转移概率)并记 pij(n)为pij. 下面只讨论齐次马尔可夫链,并将齐次两字省略. 设P为一步转移概率pij所组成的矩阵,状态空间I={1,2, …},则 P= 称为系统状态的一步转移概率矩阵.;一步转移概率矩阵具有性质: (1) pij≥0, i,j∈I; (2) pij=1, i∈I. 通常称满足(1)、(2)性质的矩阵为随机矩阵. 为进一步讨论马尔可夫链的统计性质, 还须了解n步转 移概率,初始概率和绝???概率的概念. 定义2.4 称条件概率 pij(n)=P{Xm+n=j|Xm=i},i,j∈I,m≥0,n≥1 为马尔可夫链{Xn,n∈T}的n步转移概率,并称 P(n)=(pij(n)) 为马尔可夫链的n步转移矩阵,其中pij(n)≥0, pij(n)=1 ; 即P(n)也是随机矩阵. 当n=1时,pij(1)=pij,此时一步转移矩阵P(1)=P. 此外规 定pij(0)= (P(0)是单位矩阵). 例2.1 (一维随机游动) 设一随机游动的质点, 在如右上图所示的 直线点集I={1,2,3,4,5}作随机游动,并且仅仅在1秒,2秒 …等时刻发生游动.游动的概率规则是:如果Q现在位于点 i(1＜i＜5), 则下一时刻各以1/3的概率向左或向右移动 一格,或以1/3的概率留在原处; 如果Q现在位于点1(或5) 上,则下一时刻就以概率1移动到点2(或4)上.点1与5称为 反射壁.并称上述这种游动为带有两个反射壁的随机游动. 若以Xn表示时刻n时Q的位置, 不同的位置就是Xn的不同;状态,则{Xn,n=0,1,2,…}是一随机过程, 状态空间就是I, 而且当Xn=i,i∈I为已知时,Xn+1所处的状态的概率分布只 与Xn=i有关,而与Q在时刻n以前,如何到达i是完全无关的, 所以{Xn,n=0,1,2,…}是一马氏链,而且还是齐次的.这一 齐次马氏链的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为: pij=P{Xn+1=j|Xn=i}= P= .;改变游动的概率规则,可以得到不同方式的随机 游动和相应的马氏链.如当把点1(及5)改为吸收 壁,Q一