清北学堂2022年第39届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷.docx

清北学堂2022年第39届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷 180分钟 320分 题1（40分） 本题忽略重力，当t=0时，桌面上有一质量为M，初始高度为H，半径恒定为R，电荷量密度ρ，质量和密度均匀分布，杨氏模量为A的绝缘弹性体，圆柱体底面时刻与地面相连，可绕中心无摩擦转动；全空间电磁场只考虑在z方向上的Et=E0(1-cosωt), B(z, t)=B0e-γzsinωt，（γz1）, 以及该磁场附加的涡旋电场；随着时间变化，圆柱体在z方向电场力作用下，上下周期性运动，质量、电荷密度变得不均匀，并且由于电场较大可认为各处在z方向上 （1）圆柱体高度H=H(t)； （2）圆柱体绕z轴转角可近似为?=?t=Ct2 题2 转硬币（45分） 想必大家都转过硬币吧，如果没有转过也可以拿手边一元硬币试试。我们在硬币旋转过程中可以观察到如下现象： 你会发现从上面看来硬币旋转速度在变慢 硬币发出响声的频率在加快 这两者似乎是矛盾的，因为前面告诉我们硬币越转越慢，后者告诉我们它越转越快。本题尝试建立模型解释这种奇妙的现象。 首先我们假定我们给硬币一个初始角动量，使硬币转起来获得较大的z轴角动量，然后硬币掉落在摩擦系数极小的光滑桌面上，因此能量损失会较为缓慢，能作为准静态考虑。硬币边缘对于桌面是纯滚的，旋转过程可以看作是旋转对称的。设硬币（抽象成一个均质圆柱体）厚度为h，半径为R，质量为m，请回答下列问题： 图中x,y,z轴为硬币的主轴（原点在质心），求转动惯量Ixx 我们考虑硬币对于桌面倾斜角为θ时的旋转。假定θ在一个周期内不会改变，改变的只是硬币平面的方向，硬币的质心在周期内可认为不动的。我们定义经过质心、垂直于硬币平面向上为z轴，由硬币质心指向接触点所在母线中点为x轴，y轴参照右手系原则定义。同样的，你也可以定义实际的x,y,z轴，z轴垂直于桌面向上，x 2-1：旋转面相对于桌面的角速度（方向指向z轴正方向） 2-2：硬币的视角速度ωsight 2-3：硬币的总能量E 能量的损失 能量必定会有损失，而这种损失我们在本题中可以假定是由于硬币边缘与桌面碰撞产生的，因此可以假定dEdt=-kvside，vside是硬币与桌面接触点在桌面上的运动速度（注意：接触点是硬币与桌面的接触点，不是硬币上固定的一点）。请求出在θ较小时角度θ与时间t的关系（假定t=0时θ=θ0） 题3 一起来玩竹蜻蜓（50分） 竹蜻蜓由同材质的两个旋翼叶片与一根垂直杆组成，旋翼叶片为两片长为a，宽为b，面密度为σ的匀质长方形板，与水平面夹角皆为θ，杆子质量m1=σab。t=0时，以角速度ω0，数值速度v0=0 （1）竹蜻蜓绕杆的转动惯量； （2）速度为v，角速度为ω时竹蜻蜓受到的力与力矩情况； （3）这个竹蜻蜓能够起飞至少要多大的ω0？并求θ多大时竹蜻蜓 题4 （45分）（第35届全国中学生物理竞赛决赛题2） 平行板电容器极板1和2的面积均为S，水平固定放置，它们之间的距离为d，接入如右图所示的电路中，电源的电动势记为U。不带电的导体薄平板3的质量为m、尺寸与电容器极板相同。平板3平放在极板2的正上方，且与极板2有良好的电接触。整个系统置于真空室内，真空的介电常量为ε0。闭合电键K后，平板3与极板1和2相继碰撞，上下往复运动。假设导体板之间的电场均可视为匀强电场；导线电阻和电源内阻足够小，充放电时间可忽略不计；平板3与极板1或2碰撞后立即在极短时间内达到静电平衡；所有碰撞都是完全非弹性的。重力加速度大小为g （1）电源电动势U至少为多大？ （2）求平板3运动的周期（用U和题给条件表示）。 题5 电离室（30分） 一电离室由一个半径为a、长为L的金属圆柱面与一根半径为b的位于柱面轴的导线组成。圆柱面接一个负高压-V0，导线通过电阻R接地，如右图所示。现给电离室充以一个大气压的氩气。一束电离粒子穿过电离室，其径迹平行于轴线，距轴线r=a/2，它共产生了N=105个离子-电子对。求电阻两端的电压ΔV与时间的函数关系。已知a=1cm，b=0.1mm，L=50cm，氩离子迁移率μ+ 题6（30分） 一个相对于彼此间距固定不变的星体系统为静止的观察者看到一个各向同性的星体分布。对任意立体角元dΩ有dN=N4πdΩ，现在考虑另一个以恒定加速度a（相对其瞬时惯性参照系）运动的观察者，假如他在t=0时刻相对于固定的观察者静止并开始运动。试确定在时刻t的星系分布为dN=N 题7 磁介质的热力学（80分） （1）长度为l截面积为A的磁介质上绕有N匝线圈，接上电源。改变电流的大小以改变介质中的磁场dB，试计算电源克服线圈中感生电动势所作的功d （2）上问中的结果包括两部分，一部分是激发磁场做的功，另一部分磁化磁介质做的功。当热力学系统只包括磁介质而不考虑磁场时，只需要保留第二项。试证明：?M