函数的极值与最值89823.pptx

在实际问题中经常遇到需要解决在一定条件下的最大、最小、最远、最近、最好、最优等问题，这类问题在数学上常可以归结为求函数在给定区间上的最大值或最小值问题，这里统称为最值问题.本节将介绍函数的极值问题与最值问题.;一、函数的极值;定理4.9(极值的必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则;由上述可知，欲求函数的极值点，先要求出其驻点和导数不存在的点，然后再用下面的充分条件判别:;因此可知x0为f(x)的极大值点.;(3)判定每个驻点和导数不存在的点 两侧(在xi较小的邻域内) 的符号，依定理4.10判定xi是否为f(x)的极值点.;令 ，得函数的两个驻点：x1= –1，x2=2.;可知x=0为y的极小值点，极小值为0.;例3;定理4.11(判定极值的第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且 则;当x充分接近于x0时，易见，上式右端 的符号取决于 .;例4;;上述求函数极值与极值点的方法可总结为:;二、函数的最大值与最小值;求[a,b]上连续函数的最大值、最小值的步骤：;由上述分析可以看出，最大值与最小值是函数f(x)在区间[a,b]上的整体性质，而极大值与极小值是函数f(x)在某点邻域内的局部性质.;例5;可知f(x)在[0,3]上的最大值点为x=2，最大值为f(2)=1.;由隐函数求导法则可以得出过M点的切线斜率;可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为;而且所求的驻点唯一，因此点 为所求最小值点，最小面积为ab.; 如果目标函数可导，其驻点唯一，且实际意义表明函数的最大(小)值存在(且不在定义区间的端点上达到)，那么所求驻点就是函数的最大(小)值点.;例8 欲围一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元.问场地的长、宽为多少米时，才能使所用材料费最少？;由于驻点唯一，由实际意义可知，问题的最小值存在，因此当正面长为10米，侧面长为15米时，所用材料费最少.;感谢您的观看！