待定系数法求特殊数列的通项公式.docxVIP

求数列 求数列｛x^的通项公式 待定系数法求特殊数列的通项公式 靖刘I 一中蒋利 在高中数学教学中，经常碰到一些特殊数列求通项公式，而这些 问题在高考和竞赛中也经常出现，是一类广泛而复杂的问题，历届 高考常以这类问题作为一道重大的试题。因此，在教学中，针对这 类问题，提供一些特殊数列求通项公式范例，帮助同学们全面拿握 这类问题及求解的一般方法。 求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所给的递推关系 变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此 推得所给数列的通项公式。求解的关健在于变形的技巧，而变形的 技巧主要在于引进待定系数。其基本原理是递推关系两边加上相同 的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性 质的量，使之成为等養或等比数列。具体的求解过程详见示例。 第一类别：aQ=Aa0.1+B 例1设Xj=2,且X”=5Xn_] + 7.求数列的通项公式 解：所给的递推公式可变形为 Xn+m = 5x“_i+7 + m = 5(x“_i + [ +等)，令 m=[ +等.则 m=y TOC \o 1-5 \h \z 5 5 5 5 4 7 7 7 于是xZI + - =5(x _] + ；), ｛ xn + - ｝是等比数列，其首项为 4 4 4 口+ [二芋,公比为q=5.于是 + [= v - 5宀 4 4 4 4 所以 ? 5^-1 4 4 3x 例2 设“二 1,且 Xq二…心■ (n=2, 3, 4,…) 2儿“ + 5 i 5 2 解：所给的递推公式可变为：一= l + t 耳 3仏 3 1 m=1 1 m =1(￡ 2 3mm= — + —— 5 5 ，则 m = l 于是丄= ￡(丄+1)。｛丄+1｝是等比数列, 心 3 Xt x” 其首项是丄+1=2,公比是q=| X] 3 于是± + 1=2 (-) 。所求的xl “ ° 第二类别：弧二Aa“+B%2 例 3 设 x, = l , x2= 5,xn= 13xn.t-22xn.z, (n=3,4,??-) 求数列｛x^｝的通项公式 解：所给的递推公式可变为 22 心+曲“二(m +1 3) xn.1-22xu.2= ( m + 1 3) (x^i xn.2) m + \3 22 令 m二 ,贝!]m= — 2,或 m二一11 m +13 于是 ^n~2xn.i = 1 1 ( Xn_i -Xn.7) ,Xn-l 1 Xn.i =2(Xn.|-Xn_2) 都是等比数列，其首项与公比分别为 X￡-2xi = 3,t|= 11 o lxj — - -20 于是 xn-2xn.i = 3 - 11u2, xn-l lxn.i = -6 ? 2。 由此消去x篩可得xn=(lln-,+2Q)/3 例 4：设 X1 = 1,X2 = 2o 且 Xn = 7Xn-】 + 18Xn-2 ( = 3,4,…) 求数列｛Xp｝的通项公式 解：所给的递推公式可变为 求数列 求数列｛x^的通项公式 xa+mxn.1 = (m + 7)xn.1 + l 8xn.2 = (m + 7)(xu.l + xn.2) m + 7 1 Q 令 m= ,贝lj m = 2,或 m = -9 m + 7 Xa+2xn.1=9(xn.l + 2xn.2),xa-9xu.l=-2(xn.1-9xQ.2) ｛xa+2xn.J与｛x广都是等比数列，其首项与公比分别为 xz+2xi=4 , q二9。X2-9xi = -7 , q二?2 xn+2xn.i — 4 ? 9U ~, xa-9xa.j = -7(-2)u 由此消去可得X尸(4 ? 9^ + 7 ? (-2)2) /II 第三类别：a产Aa“ + f@) 例 5 设 Xi = l,且 xn=3xn.i+ 5n+ 1 (n=2,3,…) (1) 求数列｛xj的通项公式 解：x2=14,于是(1)把n改成n-1得 xn xn.1=3xn.2+ 5(n-l)+ 1 (2) 两式相减得 xn-xn.l = 3(xa.1-xu.2) + 5 5 m xn-xn.1+m = 3(xa.1-xn.2) + ^ + m = 3(xn.1-xn.2+ - + —) TOC \o 1-5 \h \z 人 5 m 5 十口 5 . 5、 v m二一 ，则 m= — o 于是 只旷只口.] + — =c(xI1?|-xI1?2+—) 3 3 2 2 2 ｛xn-xn.t+|｝是等比数列, 5 31 其首项为X2-XJ+ ,其公比q = 3o 2 2 (3)千旦 斗5_31 严 (3) J 是 Xn-Xn-1+ T - — ? 3 2 2 由（1）与（3）消去xw得 xu.(31 ? 3u-l-10n-17)/4 例 6:设 x