多元函数微分法及其应用.doc

多元函数微分法及其应用 高等数学教案 第八章 多元函数微分法及其应用 第八章 多元函数微分法及其应用 教学目的, 1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4、 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、 掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。 7、 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、 了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 教学重点: 1、二元函数的极限与连续性; 2、函数的偏导数和全微分; 3、方向导数与梯度的概念及其计算; 4、多元复合函数偏导数; 5、隐函数的偏导数 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线; 7、多元函数极值和条件极值的求法。 教学难点: 1、二元函数的极限与连续性的概念; 2、全微分形式的不变性; 3、复合函数偏导数的求法; 4、二元函数的二阶泰勒公式; 5、隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数; 6、拉格郎日乘数法; 7、多元函数的最大值和最小值。 青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第八章 多元函数微分法及其应用 ?8, 1 多元函数的基本概念 一、 教学目的与要求 1( 理解多元函数的概念。 2( 了解二元函数的极限与连续性的概念。 3( 了解有界闭区域上连续函数的性质。 4( 会求简单的多元函数的极限。 二、 重点(难点):多元函数的极限 三、 主要外语词汇:Diverse function，district， Two heavy extreme limits。 四、辅助教学情况:多媒体课件第四版和第五版(修改) 五、参考教材(资料):同济大学《高等数学》第五版 青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第八章 多元函数微分法及其应用 一、平面点集n维空间 1(平面点集 由平面解析几何知道～ 当在平面上引入了一个直角坐标系后～ 平面上的点P与有序二元实数组(x～ y)之间就建立了一一对应, 于是～ 我们常把有序实数组(x～ y)与平面上的点P视作是等同的, 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面, 2二元的序实数组(x～ y)的全体～ 即R,R，R,{(x～ y)|x～ y,R}就表示坐标平面, 坐标平面上具有某种性质P的点的集合～ 称为平面点集～ 记作 E,{(x～ y)| (x～ y)具有性质P}, 例如～ 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 222 C,{(x～ y)| x，y,r}, 如果我们以点P表示(x～ y)～ 以|OP|表示点P到原点O的距离～ 那么集合C可表成 C,{P| |OP|,r}, 邻域: 设P(x～ y)是xOy平面上的一个点～ ,是某一正数, 与点P(x～ y)距离小于,的点P (x～ y)的全000000 体～ 称为点P的,邻域～ 记为U (P～ ,，～ 即 00 22 或, U(P,,),{P| |PP|,,}U(P,,),{(x, y)| (x,x)，(y,y),, }00000 邻域的几何意义: U (P～ )表示xOy平面上以点P(x～ y)为中心、 0为半径的圆的内部的 ,,0000 点P (x～ y)的全体, , 点P的去心,邻域～ 记作～ 即 U(P, ,)00 , , U(P, ,),{P| 0,|PP|,,}00 注: 如果不需要强调邻域的半径～ 则用U (P)表示点P的某个邻域～ 点P的去心邻域记作000, , U(P)0 点与点集之间的关系 22 任意一点PR与任意一个点集E,R之间必有以下三种关系中的一种 (1)内点: 如果存在点P的某一邻域U(P)～ 使得U(P),E～ 则称P为E的内点 (2)外点 如果存在点P的某个邻域U(P)～ 使得U(P)E,, 则称P为E的外点 (3)边界点: 如果点P的任一邻域内既有属于E的点～ 也有不属于E的点～ 则称P点为E的边点, E的边界点的全体 称为E的边界 记作E 青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第八章 多元函数微分法及其应用 E的内点必属于E E的外点必定不属于E 而E的边界点可能属于E 也可能不属于E 聚点 , 如果对