因式分解的通用方法.docx

,. ,. 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下 面 再 补 充 两 个 常 用 的 公 式 ： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式： am ? an ? bm ? bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看， 这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解， 然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= (am ? an) ? (bm ? bn) = a(m ? n) ? b(m ? n) 每组之间还有公因式！ = (m ? n)(a ? b) 例 2、分解因式： 2ax ? 10ay ? 5by ? bx 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式= (2ax ? 10ay) ? (5by ? bx) 原式= (2ax ? bx) ? (?10ay ? 5by) = 2a(x ? 5 y) ? b(x ? 5 y) = x(2a ? b) ? 5 y(2a ? b) = (x ? 5 y)(2a ? b) = (2a ? b)(x ? 5 y) 练习：分解因式 1、a 2 ? ab ? ac ? bc 2、 xy ? x ? y ? 1 （二）分组后能直接运用公式 例 3、分解因式： x 2 ? y 2 ? ax ? ay 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解， 所以只能另外分组。 例 4、分解因式： a 2 ? 2ab ? b 2 ? c 2 解：原式= (x 2 ? y 2 ) ? (ax ? ay) 解：原式= (a 2 ? 2ab ? b 2 ) ? c 2 = (x ? y)(x ? y) ? a(x ? y) = (a ? b) 2 ? c 2 = (x ? y)(x ? y ? a) = (a ? b ? c)(a ? b ? c) 练习：分解因式 3、 x 2 ? x ? 9 y 2 ? 3 y 4、 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 yz 综合练习：（1） x3 ? x 2 y ? xy 2 ? y 3 （2） ax 2 ? bx 2 ? bx ? ax ? a ? b （3） x 2 ? 6xy ? 9 y 2 ? 16a 2 ? 8a ? 1 （4） a 2 ? 6ab ? 12b ? 9b 2 ? 4a （5） a 4 ? 2a3 ? a 2 ? 9 （6） 4a 2 x ? 4a 2 y ? b 2 x ? b 2 y （7） x 2 ? 2xy ? xz ? yz ? y 2 （8） a 2 ? 2a ? b 2 ? 2b ? 2ab ? 1 （9） y( y ? 2) ? (m ? 1)(m ? 1) （10） (a ? c)(a ? c) ? b(b ? 2a) 四、十字相乘法. （一）二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式—— x 2 ? ( p ? q)x ? pq ? (x ? p)(x ? q) 进行分解。特点：（1）二次项系数是 1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 思考：十字相乘有什么基本规律？ 例.已知 0＜ a ≤5，且a 为整数，若2x2 ? 3x ? a 能用十字相乘法分解