因式分解的常用方法及练习题.docx

因式分解的（ 常用方法 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）平方差公式：(a+b)(a-b) = a2-b2 完全平方公式：(a±b)2 = a2±2ab+b2 (3) 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) { (4) 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) （5）完全立方公式：(a±b)3 ＝a3 ±3a2 b＋3ab2 ±b3 下 面 再 补 充 两 个 常 用 的 公 式 ： (6)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (7)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 三、十字相乘法. （一）二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式： x 2 ? ( p ? q)x ? pq ? (x ? p)(x ? q) 进行分解。 | 特点：（1）二次项系数是 1； 常数项是两个数的乘积； 一次项系数是常数项的两因数的和。 例 5、分解因式： x 2 ? 5x ? 6 x 2 ? 7x ? 6 # 练习 5、分解因式(1) x 2 ? 14x ? 24 (2) a 2 ? 15a ? 36 } 练习 6、分解因式(1) x 2 ? x ? 2 (2) y 2 ? 2 y ? 15 】 （二）二次项系数不为 1 的二次三项式—— ax 2 ? bx ? c  (3) x 2 ? 4x ? 5 (3) x 2 ? 10x ? 24 c1c条件：（1） a ? a a c 1 c 1 2 1 c ? c c a 1 2 2 2 b ? a c 1 2 a c 2 1 b ? a c 1 2 a c 2 1 分解结果： ax 2 bx ? c = (a 1 x ? c 1 )(a 2 x ? c ) 2 例 7、分解因式： 3x 2 ? 11x ? 10 ~ 练习 7、分解因式：（1） 5x 2 ? 7x ? 6 （2） 3x 2 ? 7x ? 2 ^ （3）10x 2 ? 17x ? 3 （4） ? 6 y 2 ? 11y ? 10 | （三）二次项系数为 1 的齐次多项式 例 8、分解因式： a 2 ? 8ab ? 128b 2 ^ 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解： a 2 ? 8ab ? 128b 2 = a 2 ? [8b ? (?16b)]a ? 8b ? (?16b) =(a ? 8b)(a ? 16b) 练习 8、分解因式(1) x 2 ? 3xy ? 2 y 2 (2) m 2 ? 6mn ? 8n 2 (3) a 2 ab ? 6b 2 》 （四）二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9、2x 2 1-2y 1 -2y 把 xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 ? 7 xy ? 6 y 2 例 10、 x 2 y 2 ? 3xy ? 2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= (x ? 2 y)(2x ? 3y) 解：原式= (xy ?1)(xy ? 2) 练习 9、分解因式：（1）15x 2 ? 7 xy ? 4 y 2 （2） a 2 x 2 ? 6ax ? 8 $ 综合练习 10、（1） 8x6 ? 7x3 ? 1 （2）12x 2 ? 11xy ? 15 y 2 （ （3） (x ? y) 2 ? 3(x ? y) ? 10 （4） (a ? b) 2 ? 4a ? 4b ? 3 x 2 y 2 ? 5x 2 y ? 6x 2 m2 ? 4mn ? 4n 2 ? 3m ? 6n ? 2 x 2 ? 4xy ? 4 y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 （8） 5(a ? b) 2 ? 23(a 2 ? b 2 ) ? 10(a ? b) 2 # （9） 4x 2 ? 4xy ? 6x ? 3 y ? y 2 ? 10 （10）12(x ? y) 2 ? 11(x 2 ? y 2 ) ? 2(x ? y) 2 ， 四、分组分解法. ￥ （一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式： am ? an ? bm ? bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这 个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然 后再考虑两组之间的联系。 解：原