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为时间序列{ yt , t = 1,2, …}的自相关函数 。自相关 函数是衡量序列{ yt , t = 1,2, …}中任意两个元素之 间相关程度的量度。 三、平稳随机过程 1. 平稳随机过程的概念 我们把具有下列性质的随机过程称为宽平稳随机 过程（简称为平稳随机过程）： (1) E(yt) = μ =常数 (对所有t) (10.1.5) (2) V(yt) = =常数 (对所有t) (10.1.6) (3) COV( ) = E[(yt-μ)( yt+k-μ)] = rk (10.1.7) 其中rk仅与yt和yt+k相隔的时期数有关，而与时间点 t无关(对所有t和k)。 随机过程是否具备平稳性对于时间序列预测来说十 分重要，这一性质保证了随机过程的结构不会随时 间变化，这是进行准确预测的必要条件。 2. 白噪声 如果随机过程{ut}服从的分布不随时间改变，而且 E(ut) = 0 (对所有的t) (10.1.8) V(ut)=E( )= =常数 (对所有的t) (10.1.9) COV(ut, us) = E(ut us) = 0 (t ≠ s) (10.1.10) 那么，这一随机过程称为白噪声。 3. 平稳随机过程的自相关函数 对随机过程{yt},元素yt与yt+k之间的自相关函数定义 如下： （10.1.11） 自相关系数ρk的序列{ρk} (k=0, ±1, ±2,…)称为自 相关函数。 当yt为平稳随机过程时 (10.1.12) 其中 (10.1.13) 由定义知，对任何随机过程ρ0 = 1 由公式(10.1.11)知，ρk是一个无量纲量。 在实际计算时，我们只能计算样本自相关函数， 其样本自相关函数定义为 （10.1.14） 随机时间序列模型着重研究的是相关关系，因此 自相关函数在时间序列模型中占有重要地位。 再将模型(9.7.3)和(9.7.4)中心化，便有 (9.7.11) 再把(9.7.11)代入(9.7.10)便有 (9.7.12) (9.7.13) 有偏性得证。 再证明间接最小二乘估计量是一致估计量。 对(9.7.12)取概率极限 由于Y与v1和v2不相关，当样本容量n→∞时， 所以 一致性得证。 §9.8 工具变量法(IV法)  IV法的基本思想是当某个说明变量与随机项相 关时，选择一个与此说明变量强相关而与相应的随 机项又不相关的前定变量作为工具，来达到消除该 说明变量与随机项之间的依赖关系的目的。 一、工具变量法的步骤 工具变量法的主要步骤有： 第一步，选择适当的工具变量。 在联立方程模型中，所选择的工具变量应满足以下 条件： (1) 它必须与方程中所考虑的内生说明变量强相关。 (2) 它必须是真正的前定变量，因而与结构方程中 的随机项不相关。 (3) 它必须同结构方程中的其他前定变量相关性很小， 以避免多重共线性。 (4) 如果在同一结构方程中使用了一个以上的工具变 量，这些工具变量之间的相关性也须很小，避免产生 多重共线性。 人们自然会想到模型中的前定变量一般都能满足上 述条件，所以每一个前定变量都可以作为内生说明 变量的备选工具变量。 第二步，分别用工具变量去乘结构方程，并对所有 的样本观测值求和，得到与未知参数一样多的线性 方程组成的方程组。解方程组就得到结构参数的估 计值。 二、工具变量法的应用举例 1.设有一个解释变量的结构方程： (9.8.1) 其中xt是该方程所在模型中的内生变量，因而 COV(xt,ut) ≠ 0。在模型的其他结构方程中可找到这 样的外生变量zt，zt与xt高度相关,但zt与ut不相关即 COV(zt,ut)＝0，即zt满足工具变量的条件。 由(9.8.1)有 (9.8.2) 用zt乘(9.8.1)两边并求和，得到 (9.8.3) 由于E(ut)＝0，所以 ，(9.8.2)可改写为 (9.8.4) 又由于COV(zt,ut)＝0，所以∑zt ut≈0，于是(9.8.3) 可改写成 (9.8.5) 将(9.8.4)代入(9.8.5)，整理后得到 便有IV 法参数估计量 (9.8.6) 可以证明，IV 法估计量不具备无偏性，但具有一致性。 (9.8.7) (9.8.7)两边取期望值: (9.8.8) 所以， 不是 的无偏估计量。 (9.8.7)两边取概率极限： (9.8.9) 即 表明