合肥工业大学《高等数学》课件-第7章.pdfVIP

微分方程解的概念和定解条件 微分方程的解 设函数 y (x)在 区间I 上有 n阶连续导数,  (n) 如果在 区间I上， 将其代入微分方程F(x,y,y ,,y ) 0中，  (n) F(x,(x), (x),, (x)) 0 ，  (n) 则称函数(x)是微分方程F(x,y,y ,,y ) 0在 区间I上的解. 微分方程的通解 若微分方程的解中含有任意常数，且独立 任意常数的个数与微分方程的阶数相同， 这样的解称作微分方程 的通解. 例1 二阶微分方程 y 6x. 3 （1）显然y x  C是方程的解,但是不是通解呢？ 1 3 （2）那y x  C  C 是不是通解呢？ 1 2 3 3 y x  C  C x  C，其中C C  C . 1 2 1 2 3 （3）y x  C x C 是方程的通解. 1 2 例2 一阶微分方程 yy 2xy. 解当y  0时，方程等式两边同除以y得 y 2x， 2 同时不定积分得 y x  C，是原方程的通解. 但显然 y 0也是原方程的解. 注：微分方程的通解不一定是该方程的全部解. 微分方程的特解 不含有任何任意常数的解称为微分方程的特解. 确定微分方程通解中任意常数值的条件称为定解条件或初始条件. 例3 设质点以匀加速度a作直线运动，且t 0时，s 0,v v . 0 求质点的运动位移s与时间t的关系s s(t). 解 由二阶导数的物理意义知 2 d s a， 且s(0) 0,s (0) v . dt2 0 1 2 解得通解为 s(t) at  C t C 1 2 2 将定解条件带入： s(0) 0 C 0 2 s (t) at C，s (0) v  C v .  1 0 1 0 1 2 故特解为 s(t) at  v t.