合肥工业大学《高等数学》课件-第8章 向量代数与空间解析几何.pdfVIP

第8 章 向量代数与空间解析几何 本章主要介绍两部分内容． 第一部分是向量代数．向量在理论研究和工程技术中有着广泛的 应用，是重要的数学工具． 第二部分是空间解析几何．我们知道平面解析几何是用代数方法 来解决平面几何问题，类似地,空间解析几何是通过空间向量将代数 运算引入到空间几何中来，从代数的角度来处理空间几何问题． 本章先介绍向量的一些基本知识，再利用向量的运算建立空间平 面和直线的方程，然后介绍空间曲面和曲线的方程和特性． 22-2 8.1 空间向量及其线性运算 8.1.1 空间直角坐标系 8.1.2 空间向量的概念及线性运算 8.1.3 向量的坐标表示 22-3 8.1.1 空间直角坐标系 为了从代数的角度去研究几何问题，我们用类似于平面解析几何 的做法，在空间建立坐标系将几何与代数沟通起来，使得空间的点与 有序数组相对应，将空间的几何图形用代数关系来表示． 在空间取三条相交于一定点 O，且两两垂直的数轴，每一数轴有 相同的长度单位，以O 点为 原点．这三条数轴分别称为 x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、 z 轴（竖轴），其方向符合右 手法则（图8-1-1）． 22-4 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系，称为Oxyz 直角标系 （或称为右手系），O 称为坐标原点． 在空间直角坐标系中，每两条坐标轴可以确定一个平面，称为坐 标面，因此有三个坐标面，分别称为xOy 坐标面、yOz 坐标面和 zOx 坐标面．这三个坐标面相互垂直，把空间分成八个部分，每一部分称 为一个卦限．含有x 轴、y 轴和z 轴正半轴的卦 限称为第一卦限, 第五卦限在第一卦限的下方， 其他第二、三、四卦限,第六、七、八卦限分别 在xOy 上方和下方，按逆时针方向确定八个卦 限，分别用罗马字母Ⅰ，Ⅱ，…，Ⅷ表示 （图8-1-2 ）. 22-5 设M 为空间中任意一点，过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、 设三个垂足P ，Q，R 在 y 轴和z 轴（图8-1-3 ）， x 轴，y 轴和z 轴上的坐标依次为x ，y 和z ，于 是点M 就惟一地对应于一个有序数组( x , y ,z ) ． 反之，对给定的有序数组(x , y ,z )，过x 轴，y 轴和z 轴上坐标分别为x , y ,z 的三个点作三个垂直 于x 轴，y 轴和z 轴的平面，这三个平面相交于空间惟一一个确定的点 M ．因此空间的点M 与有序数组(x , y ,z )一一对应，称(x , y ,z )为点M 的 坐标，其中x , y ,z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标，并把点M 记为M(x , y ,z ) ． 22-6 设M (x , y ,z ) ，M (x ,y ,z ) 是空间中的两点，为了计算M 与 1 1 1 1 2 2 2 2 1 M 之间的距离|M M |，过M 和M 各作三个分别垂直于坐标轴的平面， 2 1 2 1 2 这六个平面围成了一个以M M 为对角线的长方体（图8-1-4）． 1 2 该长方体各棱的长度分别为 x x , y y , z z ，由此得对