合肥工业大学《高等数学二》课件-第六章函数极限.pdfVIP

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2022-09-24 发布于北京
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合肥工业大学《高等数学二》课件-第六章函数极限.pdf

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第六章运用夹逼准则的难点在哪里夹逼准则1 ：设三个数列{a }，{b }，{c }满足 n n n ⑴从某一项起有a  c  b , ⑵ lim a = lim b =a, n n n n n n→ n→ 则数列{c }收敛，且lim c =a . n n n→ 夹逼准则2 ：设在自变量的同一变化过程中，g (x ), f (x ),h(x ) 都有定义，且满足 ⑴ g (x ) f (x ) h(x ), ⑵ lim g (x )= lim h(x )=A, 则lim f (x )=A . 运用夹逼准则求极限的难点在于建立合适的不等式. 例1 设常数a  0, b 0，证明lim n an + bn =max{a, b}. n→ 证明如果b  a  0，则 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n b=(b )  a + b =(a + b )  (b + b ) b= 2 , 1 n n n 由于lim b= lim b 2n b，所以lim a + b =b. n→ n→ n→ 同理，如果a  b 0， n n n 有lim a + b =a. n→ 综上得lim n an + bn =max{a, b}. 这是一个非常重要的结论. n→ sin x − x 例2 求lim 2 . x→ 0 x 解 sin x − x 由于当x (0, )时, 有sin x  x  tan x，故 2 是奇函数， x 2 sin x − x sin x − tan x 1− cos x 0 2  2 tan x 2 ， x x x 1− cos x 1 sin x − x 其中lim tan x =0 =0， 2 所以由夹逼准则，lim 2 =0. x→ 0 x 2 x