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极限与单侧极限运用中的
几个值得关注的问题
定理1 lim f (x ) A的充要条件是lim f (x ) lim f (x ) A .
x→ x x→ x− x→ x+
0 0 0
注： 此结论适用于讨论分段函数在分点处的极限问题.
定理2 lim f (x ) A的充要条件是lim f (x ) lim f (x ) A .
x→ x→− x→+
x + a , x 1,
例1 设函数f (x ) 求常数a，使得lim f ( x)存在，
2(x − a ), x 1, x→1
并求lim f (x ).
x→1
解 由于lim f (x ) lim(x =+ a ) 1=+ a ,
− −
x→1 x→1
lim f (x ) lim 2(x =− a ) 2(1=− a).
+ +
x→1 x→1
1
由定理1知 1+ a 2(1=− a ), 解得 a . 进而得
3
4
lim f (x ) .
x→1 3
2 x 2 + 1
例2 设 f (x ) arctanx =− , 求lim f (x ).
x x→
2 x 2 + 1 2
解 lim f (x ) lim arctanx =− lim = − 1=0.
x→ x→ x→ x 2
⑴ lim arctan x
x→
y arctanx lim arctan x lim arctan x =− ,
x→+ 2 x→− 2
所以lim arctan x不存在.
x→
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