合肥工业大学《高等数学》课件-第3章函数连续的性质和一元函数微分学.pdfVIP

初等函数的间断点及其分类 间断点的定义：如果函数f (x )在点x 处不连续，即 0 lim f (x ) f (x )，就称点x 为f (x )的间断点. 0 0 x→ x0 由于一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 因此，对于初等函数f (x )，若f (x )在点x 处无定义，在点x 的 0 0 某去心邻域内有定义，则点x 为f (x )的间断点. 0 简单地说，初等函数的间断点产生于其定义域之外的点. (ex+ 1 − 1)sin x 例1 求函数f (x )= 2 的间断点. (x − 1) x 解 由于f (x )是初等函数，且其定义域为 −  x +,且x −1, x  0, x  1, 所以f (x )的间断点为x =− 1,x =0,x =1. 间断点的分类： 第一类间断点： 可去间断点: 点x 为函数f (x )的间断点,且 lim f (x )存在； 0 x→ x0 跳跃间断点: lim f (x )和 lim f (x )均存在，但不相等. x→ x− x→ x+ 0 0 第二类间断点： lim f (x )和 lim f (x )中至少有一个不存在. x→ x− x→ x+ 0 0 包括无穷间断点和振荡间断点等. (ex+ 1 − 1)sin x 例2 判断函数f (x )= 2 间断点的类型. (x − 1) x 解 在例1中，已经求得该函数的间断点为x =− 1, x =0, x =1. 1 由于lim f (x )= sin1, 所以x =− 1为可去间断点； x→−1 2 由于lim f (x )=1− e lim f (x ) e=− 1, 所以x =0为跳跃间断点； x→ 0+ x→ 0− 由于lim f (x )=, 所以x =1为无穷间断点，属于第二类间断点. x→1 总结 本讲介绍如何求初等函数的间断点以及 如何进行间断点的分类. 介值定理及其应用 介值定理有多种形式, 常见形式有 介值定理1：如果函数f (x )在[a, b] y 上连续,且f (a ) f (b ),为介于f (a )与f (b ) f (b ) y f (x )