合肥工业大学《高等数学二》课件-第五章定积分与不定积分.pdfVIP

第五章 不定积分和定积分 第一节 定积分的定义 一、定积分的背景 二、定积分的定义 三、定积分的性质 一、定积分的背景 平面上可求的不规 则几何图形的面积 曲边梯形 1.曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 及x轴，以及两直线 所围成 , 求其面积A . 分析: 1) 分割. 在[a , b] 内任意插入 n –1 个分点a  x0  x1   xn1  xn  b 用直线 将曲边梯形分成n 个小曲边梯形; 2) 近似.任取 作以 为底 , 为高的小矩形, 则第i 个曲边梯形的面积为 x x  x , i 1,2, ,n  i i i 1   i 3) 求和. 4) 取极限. 令  则曲边梯形的面积为 i 2.变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, 已知速度 且 求在运动时间内物体所经过的路程s. 1) 分割. 2) 近似. n n 3) 求和. s    s  v( ) t i i i i 1 i 1 4) 取极限. 总结 本节主要介绍了利用分割、近似、求和、 取极限的思想来解决两个实际问题（核心 思想是用规则的来近似代替不规则的）. 定积分概念就是在解决这些实际问题的基 础上产生的. 问题 在今天我们研究的两个问题中，一个是曲边梯形的 面积，这是几何问题，另一个是物体作变速直线运动， 这是物理问题．虽然解决的对象不一样，但解决问题的 思想、方法和步骤却完全相同．你能从数学的角度加以 抽象概括吗？ 二、定积分的定义 定义 设f (x) 在[a, b]上有界，在[a, b] 上任意插入 n –1分点 a  x0  x1   xn1  xn  b, 记x  x  x ,  max{x }. 任取 [ x , x ], 若极限 i i i 1 1i n