合肥工业大学《高等数学》课件-第13章 无穷级数.pdfVIP

第13 章 无穷级数 13.1 常数项级数的概念及其性质 13.1.1 常数项级数的概念 13.1.2 常数项级数的基本性质 25-2 13.1.1 常数项级数的概念 我们来回顾一下在2.1 中提及的我国三国时期数学家刘徽 割 的“ 首先将圆周分割为六等分，然后作圆的内接正六边形，算出 圆术”： 六边形的面积 ；再分别以该六边形的每一条边为底作顶点在圆周上 a 1 的等腰三角形（图13-1-1），把这六个等腰三角形的面积之和记为 ， a 2 显然 （正十二边形的面积）比 （正六边形的面积）更接近于 a a a 1 2 1 圆的面积；继续得到正二十四边形的面积a a a ，显然比a a 又 1 2 3 1 2 接近于圆的面积．如此一直分割下去，如果分割越细，所得正多边形 的面积就越接近于圆的面积． 25-3 3927 刘徽本人算到正3072 边形，得到圆周率的近似值为 =3.1416 ． 1250 为了得到圆面积的精确值，需要把这个过程一直进行下去，就得到 a a a  . 1 2 3 这是什么？我们在面前还没有接触过，因为目前我们只会对有限个 数相加．而这无穷多个数相加是如何相加的？ 我们可以利用学过的数列极限知识来处理它． 由上面的讨论，我们可以求出正6 2n1边形的面积 s a a  a ． n 1 2 n 尽管 是圆面积的近似值，但随着 的不断增大， 无限接近于圆面积， s n s n n 可以确定lims 就是圆的面积． n n 25-4 为此，我们引入了无穷级数的概念． 设有数列 ，用加号形式将数列 的各项依次连接起来，得表 {u } {u } n n 达式