合肥工业大学《高等数学》课件-第4章不定积分.pptVIP

第4章 不定积分 不定积分的概念与性质 第一节 换元积分法 第二节 分部积分法 第三节 合肥工业大学《高等数学》 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分 微分学研究如何从已知函数求出导函数,其逆问题是求一个未知函数,使其导函数恰好是某一个已知函数.例如,我们已知t时刻的速度v(t)是位移s(t)的导数,v(t)=dsdt;加速度a(t)是速度v(t)的导数,a(t)=dv/dt.现在反过来,已知速度v(t),如何求位移s(t)?已知加速度a(t),如何求速度v(t)? 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分 又例如,我们已知曲线y=f(x)在点M(x,y)处的切线斜率k是f(x)在切点横坐标x处的导数,k=f′(x).反过来,如果已知某曲线在任意点M(x,y)处的切线斜率k(x),如何求出该曲线方程? 我们称这类由给定f′(x)求f(x)的运算为积分法. 定义1 设函数F(x)和f(x)在区间I上有定义,若对于I上每一点x,都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 则称F(x)是f(x)在区间I上的原函数. 例如,由(x3)′=3x2可知,x^3是3x^2在区间(-∞,+∞)上的原函数;由(sinx)′=cosx可知,sinx是cosx在(-∞,+∞)上的原函数;lnx是1/x在(0,+∞)上的原函数;运动方程s=1/2at^2(a＞0,a为常数)是速度v=at在某区间上的原函数,等等. 研究原函数,首先需要解决在什么条件下,函数的原函数存在?如果存在,原函数是否唯一?事实上,并不是每个函数都存在原函数,我们将在下一章中证明下述定理. 定理 若函数f(x)在区间I上连续,那么f(x)在I上的原函数F(x)存在. 由于初等函数在其定义域上处处连续,因此,每个初等函数在其定义区间上都存在原函数. 设F(x)是f(x)在区间I上的原函数,即F′(x)=f(x),那么,对任意常数C,由［F(x)+C］′=F′(x)=f(x)知,F(x)+C也是f(x)的原函数.如果F(x),G(x)都是f(x)在区间I上的原函数,即有F′(x)=G′(x)=f(x), 根据微分学拉格朗日中值定理的推论,存在某常数C,使G(x)=F(x)+C.上述表明,如果某函数存在原函数,那么原函数有无穷多个,并且,它们彼此之间只相差一个常数.因此,若把两个函数相差一个常数作为“等价”看待，则可认为原函数“基本上”只有一个. 要把某函数的原函数求出来，只需求出其中任意一个，由它加上各个不同的常数便可得到全部原函数.根据全体原函数的这种结构，引入不定积分的概念. 定义2 函数f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I上的不定积分，记作∫f(x)dx，其中，记号∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量. 由定义2可知不定积分与原函数是整体和个体的关系，f(x)的不定积分∫f(x)dx是f(x)的原函数的全体，是一族函数.若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x)在I上的不定积分为 ∫f(x)dx=F(x)+C，其中，C为任意实数，称为积分常数. ? 二、不定积分的几何意义 在直角坐标系中，f(x)的任意一个原函数F(x)的图形是一条曲线y=F(x)，这条曲线上任意点(x,F(x))处的切线的斜率F′(x)恰为函数值f(x)，称这条曲线为f(x)的一条积分曲线. 二、不定积分的几何意义 f(x)的不定积分F(x)+C则是一个曲线簇，称为积分曲线簇.如图4-1所示，平行于y轴的直线与簇中每一条曲线的交点处的切线斜率都等于f(x)，因此积分曲线簇可以由一条积分曲线通过经y轴方向平移得到. 二、不定积分的几何意义 由不定积分和微分的关系可知： ［∫f(x)dx］′=f(x)或d∫f(x)dx=f(x)dx， ∫F′(x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C. 三、不定积分的基本公式 根据积分法是微分法的逆运算关系，我们可以从每一个导数公式相应地得到一个不定积分公式.下面为最常用的不定