合肥工业大学《高等数学》课件-第5章一元函数积分学.pdfVIP

积分中值定理的若干问题 1.关于积分中值定理中ξ的取值范围 [a , b], 积分中值定理：若f (x)在 [a, b]上连续，则至少存在一点 使 b a f (x )dx f ( )(b a ). 改进 若f (x)在 [a, b]上连续，则至少存在一点 (a , b) , 使 b a f ( x)d x  f ()(b a). 证明：(1). 若 b , 则(a, b) 中仍存在ξ使等式成立. 1）若f (x)在[a, b]上恒为常数，则结论显然成立. 2）若f (x)在[a, b]上不恒为常数，且当x在[a, b] 内恒有 f (x) ≤ f (b) 或f (x) ≥ f (b), 则 b b b a f (x )dx  a f (b )dx f (b )(b a ) 或 a f ( x)d x  f (b)(b a). 由积分中值定理可知  b . 若在[a, b) 内存在两点x , x , 使得f (x )f (b) f (x ). 1 2 1 2   由介值定理可知，存在ξ (x , x ) (a, b) ，使得f (ξ) =f (b). 1 2 b 因此，这样必存在ξ [a, b), 使得  a f ( x)d x  f ()(b a). 类似方法可以证明ξ = a 的情况. 从而结论成立. 2. 积分中值定理条件是否可以进一步减弱？ 答案是肯定的： 若f (x)在区间[a, b]上可积，且存在原函数，  (a ,b), 使 则至少存在一点 b a f (x )dx f ( )(b a ). 证明可参看相关参考文献. 3. 微分中值定理与积分中值定理的关系 (1).微分中值定理可以导出积分中值定理 x 证明：令F (x ) a f (t )d t , 由拉格朗日中值定理可证. (a , b) , F (x ) 在[a, b]上连续，在(a, b) 内可导，则至少存在一点 b  F(b) F(a)  a f ( x)d x  f ()(b a)  F ()(b a). 应当指出：由于教材中，讲述连续函数