合肥工业大学《高等数学》课件-第8章 向量.pdfVIP

第八章 向量 向量 的乘 积 一、概念 ⑴数量积 设向量a,b的夹角为，数量积ab a b cos． b ⑵向量积 设向量a,b的夹角为，向量积ab为 ①ab a b sin； a ②ab垂直于a和b,并且a,b,ab的方向符合右手法则. ab ⑶混合积 设有向量a,b,c，混合积[abc] (ab)c． 二、向量乘积的坐标形式 设a {a ,a ,a } a i a j  a k，b {b ,b ,b } b i b j  b k， x y z x y z x y z x y z c {c ,c ,c } c i c j  c k，则 x y z x y z ⑴数量积ab a b  a b  a b . x x y y z z i j k a a a a a a ⑵向量积ab by bz i bx bz j  bx by k ax ay az . y z x z x y b b b x y z a a a x y z ⑶混合积[abc] b b b . x y z c c c x y z 三、相关结论 ⑴数量积 a b ab 0． ⑵向量积 ①ab表示以a,b为邻边所构成的平行四边形的面积． ②a//b ab 0. ⑶混合积 ①[abc]为以a,b,c作为相邻三棱的平行六面体体积． ②a,b,c共面的充分必要条件为[abc] 0． 例1  设有ABC,BAC , 证明余弦定理 B 2 2 2 A  BC AB  AC  2ABACcos.    证 由于BC AC AB, 所以 C        2 BC BCBC (AC AB)(AC AB)       ACAC ABAB2ACAB   