合肥工业大学《高等数学（二版）》课件-第4章.pdfVIP

二 重 积 分 的对 称 性 二重积分的对称性包括奇偶对称性和轮换对称性. 一、二重积分的奇偶对称性 二重积分的奇偶对称性可视为从定积分的奇偶对称性引伸过来的. 定积分的奇偶对称性 设f (x )在 [-a,a](a  0)上连续，则  0, 如果f (x )为奇函数， a  a f (x )dx  a 2 f (x )dx , 如果f (x )为偶函数.  0 定理 （二重积分的奇偶对称性）设f (x ,y )在有界闭区域D上连续， ⑴如果D关于x轴对称，D 为D在x轴上方的部分区域，则 1  0, 如果f (x ,y )在D上关于y为奇函数,  f (x ,y )d 2 f (x ,y )d , 如果f (x ,y )在D上关于y为偶函数. D   D  1 ⑵如果D关于y 轴对称，D 为D在y轴右侧的部分区域，则 1  0, 如果f (x ,y )在D上关于x为奇函数,  f (x ,y )d 2 f (x ,y )d , 如果f (x ,y )在D上关于x为偶函数. D   D  1 3 2 3 2 例1 设区域D : x  y  1，求(x y  y sin x)d. 解 如图， D y 3 2 1 由于区域D关于y 轴对称，且x y 关于x为奇函数，故 D 3 2 x y d 0. 1 o 1x D 3 2 1 又由于区域D关于x轴对称，且y sin x关于y为奇函数，故 3 2 y sin xd 0, D 3 2 3 2 3 2 3 2 所以 (x y  y sin x )d x y d  y sin x d 0. D D D 二、二重积分的轮换对称性