合肥工业大学《高等数学（二版）》课件-第7章.pdfVIP

常数项级数概念与性质中两个问题 1.关于常数项级数的概念 人们认识事物在数量方面的特性，往往有一个近似到精确的过程， 在这种认识的过程中，会遇到由有限个数相加到无穷多个数相加的问题. 给定一个数列 {u } : u , u ,, u ,，称由这数列构成的表达式 n 1 2 n  u  u   u  为常数项级数, 记作 u ， 1 2 n n n1  即 u =u  u   u   n 1 2 n n 1 如何理解无穷级数中无穷多个数相加呢? 我们是以圆面积计算为例，抽象到一般数项级数的：  即通过考察级数 u 部分和的极限来进行定义的.  n n1 部分和极限的两种情况：  极限存在 级数收敛，且该极限值为级数的和；  极限不存在 级数发散. 2.关于常数项级数的性质应注意的问题  (1) 级数 u 收敛的一个必要条件： lim u 0.  n n n n 1  (2) 任意改变级数 u 中任意有限项的值，不影响其敛散性;  n n 1 但若级数收敛，会影响级数的和. (3) 如果任意有限个无穷级数都是收敛的，那么它们的任意 线性组合也是收敛； 4) 在收敛级数的各个项之间加括号，得到的新级数也收敛 且其和不变。 加括号后的级数收敛 原级数收敛 (1 1) (1 1)  (1 1)  n 1 1 1 1  ( 1)  收敛 发散 对于正项级数，我们有结论： (1)如正项级数收敛，则加括号后的级数也收敛，且其和不变； (2) 如正项级数加括号收敛，则去掉括号后的原正项级数也收 敛且其和不变. 应当注意的是，上述结论并不意味着： 加括号后的正项级数收敛，可以断定去括号后的级数也收敛.  1 例如，容易判断正项级数 2 收敛，但由于 n1 n( n 1  n) 2 1 n  1 n 1 = = n+  n 2 n n