中考数学 相似三角形培优导学案.docx

相似三角形培优导学案 知识考点： 本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。 精典例题： 【例 1】如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，过O 作AO 的垂线交AB 于D。求证：△OBD∽△CBO。 分析：此题不易得到边的比例关系，但 O 点是三角形的角平分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。 由角平分线及三角形内角和定理知：∠1＋∠2＋∠DAO＝900，再由 AO⊥DO 可得∠5 ＝∠1＋∠2，而∠5＝∠3＋∠4，从而∠1＋∠2＝∠3＋∠4，由∠1＝∠3 可得∠2＝∠4，于是结论得证。 DOE D O E C F A E D 5 D 5 4 3 1 O 2 B 例 1 图 C B D C B 变式 1 图 例 2 图 变式 1：已知如图，在△ABC 中，AD＝AE，AO⊥DE 于 O，DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E，BO 平分∠ABC。求证： BO 2 ? BD ? BC 。 变式 2：已知如图（同变式 1 图），在△ABC 中，O 为两内角平分线的交点，过点 O 作直线交AB 于D，交AC 于E，且AD＝AE。 求证：（1）△BDO∽△OEC；（2） DO 2 ? BD ? CE 。 【例 2】如图，在△ABC 中，∠BAC＝900，AD⊥BC 于 D，E 为 AC 中点，DE 交 BA 的延长线于F。求证：AB∶AC＝BF∶DF。 分析：由于△ABC 和△FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间” 搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。 证明：∵AB⊥AC，AD⊥BC ∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∠DAC＝∠B AB BD ∴ AC ? AD ………① 又∵AD⊥BC，E 为AC 中点 ∴DE＝AE，∠DAE＝∠ADE ∴∠B＝∠ADE 又∵∠F＝∠F ∴△FAD∽△FDB BD BF ∴ AD ? DF ………② AB BF 由①②得 AC ? DF 变式：本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？ A CDEGEF C D E G E F B D C BF A B B F C 例 2 变式图 1 例 2 变式图 2 例 3 图 【例 3】如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，BE⊥CD 于 E，且 BC＝BD，对角线 AC、 BD 相交于G，AC、BE 相交于F。求证： FC 2 ? FG ? FA 。 分析：由于 FG、FA、FC 三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得BE 是 DC 的垂直平分线，于是连结FD 得 FD＝FC，再证△FDG ∽△FAD 即可。 探索与创新 ： 6A 6 【问题一】如图，∠ACB＝∠ADC＝900，AC＝ ，AD＝2。 问当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似？ D 略解：∵AC＝ ∴CD＝ ，AD＝2 6AC 2 6 AC 2 ? AD2  B C 问题一图 2要使这两个直角三角形相似，有两种情况： 2 AC AB ? AB ? AC 2 ? 3 当Rt△ABC∽Rt△ACD 时，有 AD AC ∴ AD AC AB 当Rt△ACB∽Rt△CDA 时，有 ? ∴ AB ? AC 2 ? 3 2CD AC CD 2 2故当AB 的长为 3 或3 2 时，这两个直角三角形相似。 【问题二】已知如图，正方形ABCD 的边长为 1，P 是 CD 边的中点，点Q 在线段BC 上，设 BQ＝ k ，是否存在这样的实数k ，使得 Q、C、P 为顶点的三角形与△ADP 相似， 若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 略解：假设存在满足条件的实数k ，则在正方形 ABCD 中，∠D＝∠C＝900，由 Rt△ ADP∽Rt△QCP 或 Rt△ADP∽Rt△PCQ 得： AD ? DP AD DP ?或 ? QC CP PC CQ A D 1 3 由此解得：CQ＝1 或CQ＝ ，从而k ? 0 或k ? 4 4 P 3 故当k ? 0 或 k ? 4 时，△ADP 与△QCP。  B Q C 跟踪训练： 问题二图 一、填空题： 1、如图，在△ABC 中，P 是边AB 上一点，连结CP，使△ACP∽△ABC 的条件是 。 2、在直角坐标系中，已知A（－3，0）、B（0，－4）、C（0，1），过C 点作直线l 交 x 轴于D，使得以点D、C、O 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线有 条。 3、如图，在△ABC 中，∠C＝900，AC＝8，CB＝6，在斜边AB 上取一点M，使MB＝CB，