中考数学 圆的证明与计算题专题研究复习教案.docx

《圆的证明与计算》 专 题 研 究 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点分析： 圆中的重要定理: 圆的定义:主要是用来证明四点共圆. 垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. 三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第 1 问主要是判定切线；第 2 问主要是与圆有关的计算：① 求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： 若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； 若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例： 如图，AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB，AD∥OC 交⊙O 于 D 点，求证：CD 为⊙O 的切线； 如图，以Rt△ABC 的直角边AB 为直径作⊙O，交斜边AC 于 D，点E 为BC 的中点， 连结 DE，求证：DE 是⊙O 的切线. 如图，以等腰△ABC 的一腰为直径作⊙O，交底边 BC 于 D，交另一腰于 F，若 DE ⊥AC 于 E（或E 为 CF 中点），求证：DE 是⊙O 的切线. 如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF，交⊙O 于点 E，过点E 作直线ED⊥AF，交 AF 的延长线于点D，交AB 的延长线于点C，求证：CD 是⊙O 的切线. C DOAOB D O A O B F D E O EF E B A O B B D C C E D 2、与圆有关的计算： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识 的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线 段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求 线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有： 构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数. 方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的 相等关系建立方程，解决问题。 建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本 图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之 间的数量关系。 3、典型基本图型： 图形 1：如图 1：AB 是⊙O 的直径，点E、C 是⊙O 上的两点，基本结论有： 在“AC 平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。 如图 2、3，DE 等于弓形BCE 的高；DC=AE 的弦心距OF（或弓形 BCE 的半弦EF）。 ECOBD E C O B ECFOBE E C F O B E C F O B E C A O K B 图1 图2 图3 图4 ECOB如图（4）：若 CK⊥AB 于 K E C O B 1 ①CK=CD；BK=DE；CK= 2 BE=DC；AE+AB=2BK=2AD; G ②⊿ADC∽⊿ACB AC2=AD?AB 在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD A 于 E 时（如图 5），则： 1 ①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD?BG= DG 2=DC2 4 图5 图形 2：如图：Rt⊿ABC 中，∠ACB=90°。点 O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交 AC 于点 E，基本结论有： DCOE D C O E A G D F H C O E A G D F C O E A 在“BO图平1 分∠CBA”;“BO∥DE”;“图AB2 是⊙O 的切线”;“BD=BC 图3 ”。四个论断中，知一 推三。