中考数学总结复习冲刺练 圆中分类讨论问题归类举例.docx

PAGE PAGE 1 中考数学总结复习冲刺练：圆中分类讨论问题归类举例 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以 讨论。这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。本文就近年中考题举例 说明如下。 一、点和圆的位置 凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形。 例 1.过不在⊙O 上的一点A，作⊙O 的割线，交⊙O 于 B、C，且 AB·AC＝64，OA＝10， 则⊙O 的半径R 为 。 解：依题意，点A 与⊙O 的位置关系有两种： 点A 在⊙O 内，如图 1，延长AO 交⊙O 于F，则 AE ? R ? 10，AF ? R ? 10 由相交弦定理得：?R ? 10??R ? 10?? 64 41所以 R ? 2 41 （负值已舍去） 点A 在⊙O 外，如图 2， 此时 AE ? 10 ? R，AF ? 10 ? R 由割线定理得：?10 ? R??10 ? R?? 64 所以 R ? 6 （负值已舍去） 故⊙O 的半径R 为2  41或 6。 41 二、点与弦的相对位置 例 2.⊙O 是△ABC 的外接圆，OD⊥BC 于 D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝ 。解：（1）点 A 和圆心O 在弦BC 同侧，如图 3，可求得∠BAC＝∠BOD＝48° （2）点A 和圆心O 在弦BC 异侧，如图 4，可求得∠BAC＝132° 三、弦所对的圆周角 3例 3.半径为 1 的圆中有一条弦，如果它的长为 ，那么这条弦所对的圆周角的度数等 3 于 。 解：弦所对的圆周角有两种情况： 当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为60°； 当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为120°。故应填 60°或 120°。 四、平行弦与圆心的位置 例 4.在半径为 5cm 的⊙O 中，弦 AB＝6cm，弦 CD＝8cm，且 AB∥CD，求 AB 与 CD 之间的距离。 OA2 ? AE 252 ? 32分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。 OA2 ? AE 2 52 ? 32 在 Rt△OAE 中， OE ? ? ? 4(cm) OC 2 ? CF OC 2 ? CF 2 ? ? 3(cm) 52 ? 42当AB、CD 在圆心O 的同侧时，如图 5， 52 ? 42 EF ? 4 ? 3 ? 1(cm) 当AB、CD 在圆心O 的异侧时，如图 6，AB 和CD 之间的距离为 EF ? 4 ? 3 ? 7(cm) 所以 AB 和CD 之间的距离为 1cm 或 7cm。 五、圆心与角的位置 32例 5.在半径为 1 的⊙O 中，弦 AB、AC 的长分别为 和 ，则∠BAC 的度数是 3 2 。 解：如图 7，当圆心在∠BAC 内部时，连接AO 并延长交⊙O 于E 2在 Rt△ABE 中，由勾股定理得： BE ? 1 ? 2 所以∠BAE＝30° 同理，在Rt△CAE 中，EC＝AC，所以 ∠EAC＝45°， ∠BAC ? 30??45? ? 75? 1 AE 当圆心O 在∠BAC 的外部时（∠BAC），由轴对称性可知： ∠BAC ? 45??30? ? 15? 所以∠BAC 为 75°或 15° 图 8 图 8 例 6.如图 8，在平面直角坐标系中，P 是经过O （0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点 （P 与 O、B 不重合），则∠OAB＝ 度，∠ OPB＝ 度。 解：依题意可知△AOB 是等腰直角三角形，所以 3 PAGE PAGE 4 ∠OAB＝45° ⌒ 当动点P 在OAB 上时，∠OPB＝∠OAB＝45° ⌒ 当动点P 在OB 上时，∠OPB＝180°－45°＝135° 故∠OPB 为 45°或 135°。 七、相交两圆的圆心与公共弦的位置 例 7.已知半径为 4 和2  2的两圆相交，公共弦长为 4，则两圆的圆心距为 。 2 O A2 ? O A2 ? AC 2 1 42 ? 22 3 在 Rt?O O A2 ? O A2 ? AC 2 2 ?2 2 ?2 ? 22 AC 中， O C ? 1 ? ? 2 在 Rt?O 2 AC 中， O C ? 2 ? ? 2 当圆心O 、O 在公共弦AB 的同侧时，如图 9 1 2 3O O ? O C ? O C ? 2 ? 2 3 1 2 1 2 当圆心O 、O 在公共弦AB 的异侧时，如图 10 1 2 3O O ? O C ? O C ? 2 ? 2 3 1 2 1 2 八、直线与圆的位置 例 8.