中学数学解题研究试题.docx

数学解题研究复习： 波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题， 他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成（ 怎样解题 ）一书. 探索解题方法就是寻求（已知与未知之间 ）之间联系，实现由已知向未知的转化. 反证法的解题步骤：第一步：反设。第二步：归谬。第三步：存真。反证法的三个步骤是互相联系的。反设是前提，（归谬 ）是关键，（ 存真 ）是目的. 数学模型法是指把所考察的实际问题，进行（数学抽象 ），构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法. 分析法是从题目的等证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，最后达到题设的已知条件；（ 综合法 ）则是从题目的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求问题. 回想、联想和猜想是密切相联系的。一般说来，回想越充分，（ 联想 ）就越丰富，（ 猜想 ）也就越合理，解题思路、方法也就越明确. 7、波利亚解题过程的四个阶段：（弄清题意），（拟订计划）（实现计划）（回顾）。 8、所谓“化归”，可以理解为？（转化和归结）的意思。数学方法论中的化归方法是指：将一个问题进行（变换），使其归结为另一个已能（或已经）解决的问题，最终获得（问题的解）的一种求解问题的手段和方法。 9、化归方法包括三个要素：（化归对象）（化归目标）（化归途径） 10、近代对构造性方法的研究，大致经历了如下三个阶段：（直觉数学阶段）（算法数学阶段）（现代构造数学阶段） 11、将数与形融为一体考虑问题的策略称为数形结合策略.其实质是将（抽象的数学语言）与 （直观图形）结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来,发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合。 12、通过分析条件和结论之间的差异、并不断缩小目标差来完成解题的策略，称为（差异分析）. 13、归纳策略是从（特殊）到（一般）的一种考察对象、研究探索问题的思想，它符合人类认识的基本规律，也是数学研究和发现的重要方法。 14、问题解决通常使用“手段—目的分析法”.它的思维方法是把（总目标分成子目标）,把自己现有的状态与目标状态作比较,运用算子进行匹配,消灭差别,最终达到总目标. 15、波利亚的数学解题观可以简单概括为“问题转换”。他认为解题就是把问题转化为一个 （等价）的问题，把原问题化归为一个（已解决）的问题，即问题的连续变换过程。 16、波利亚的名言:“掌握数学就是意味着善于解题.”数学解题的目的、价值有三个方面: （知识基础性）、（方法技能性）、（观念意识性）,分别对应着认识论、方法论、世界观. x 1 1 1 1 17、．对于正数 x，规定f（x）= 1 ,计算 f（ ）+f（ ）+f（ ）+?f（ ） 1? x 2006 2005 2004 3 +f（ 2 ）+f（1）+f（1）+f（2）+f（3）+ ? +f（2004）+f（2005）+f（2006）= 2006 . 投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12 月投入建设资金又恰好与 12 月的生产利润相同，问全年总利润m 与全年总投入 N 的大小关系是 （ A ） A. m N B. m N C. m = N D.无法确定 1 ? b 21 ? a 219、已知a, 1 ? b 2 1 ? a 2  ? 1 求证： a 2  b 2  ? 1。 1 ? b 21 ? a 2a 2 ? (1 ? b 2 ) b 2 1 ? b 2 1 ? a 2 解： a ? , b ? ， 2 2 1 ? b 21 ? a 2? 1 ? b 2 1 ? a 2 1 ? b 21 1 ? b 2 1 ? a 2 ? 1 ， a ? 且b ? 即a 2 b 2 ? 1。 1 ? b 1 ? b 2 1 ? a 2 A、正与反的转化 B、等与不等的转化 C、数与形的转化 D、陌生与熟悉的转化20、按系统要素成分分类法，若四个要素都是已知的，这样的题称为（ A ） A、标准性题 B、训练性题 C、探索性题 D、问题性题 19、若 x ? 0, y ? 0, z ? 0. x 2 ? x 2 ? xy ? y 2 y 2 ? yz ? z 2 ? z 2 ? zx ? x 2 . 解：注意到 x ? 0, y ? 0, z ? 0, x 2 x 2 ? xy ? y 2 x 2 ? y 2 ? 2xy cos 60? 表示以x，y为边夹角为60 ?的三角形的第三边.同理 y 2 ? yz y 2 ? yz ? z 2 z 2 ? zx ? x 2 我们构作顶点为O的四面体O-ABC， z 2 ? zx ? x 2使得?AOB ? ?BOC ? ?COA ?