中考数学 圆的综合综合试题附答案.docx

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 如图，⊙M 交 x 轴于B、C 两点，交y 轴于A，点M 的纵坐标为 2．B（﹣3 3 ，O）， C（ 3 ，O）． 求⊙M 的半径； 若 CE⊥AB 于 H，交y 轴于F，求证：EH=FH． 在（2）的条件下求 AF 的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 过M 作 MT⊥BC 于T 连 BM，由垂径定理可求出 BT 的长，再由勾股定理即可求出 BM 的长； 连接 AE，由圆周角定理可得出∠ AEC=∠ ABC，再由 AAS 定理得出△ AEH≌ △ AFH，进而可得出结论； 先由（1）中△ BMT 的边长确定出∠ BMT 的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG 为平行四边形，进而可求出答案． 【详解】 如图（一），过M 作 MT⊥BC 于T 连 BM， ∵ BC 是⊙O 的一条弦，MT 是垂直于 BC 的直径， 1 3∴ BT=TC= 2 BC=2 ， 3 12 4∴ BM= 12 4 =4； 如图（二），连接 AE，则∠ AEC=∠ ABC， ∵ CE⊥AB， ∴ ∠ HBC+∠ BCH=90° 在△ COF 中， ∵ ∠ OFC+∠ OCF=90°， ∴ ∠ HBC=∠ OFC=∠ AFH， 在△ AEH 和△ AFH 中， ??AFH ? ?AEH ?∵ ??AHF ? ?AHE ， ? ?? AH ? AH ? ∴ △ AEH≌ △ AFH（AAS）， ∴ EH=FH； （3）由（1）易知，∠ BMT=∠ BAC=60°， 作直径 BG，连 CG，则∠ BGC=∠ BAC=60°， ∵ ⊙O 的半径为 4， ∴ CG=4， 连 AG， ∵ ∠ BCG=90°， ∴ CG⊥x 轴， ∴ CG∥ AF， ∵ ∠ BAG=90°， ∴ AG⊥AB， ∵ CE⊥AB， ∴ AG∥ CE， ∴ 四边形 AFCG 为平行四边形， ∴ AF=CG=4． 【点睛】 本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 如图 1，直角梯形 OABC 中，BC∥ OA，OA=6，BC=2，∠ BAO=45°． （1）OC 的长为 ； （2）D 是 OA 上一点，以 BD 为直径作⊙M，⊙M 交 AB 于点Q．当⊙M 与 y 轴相切时， sin∠ BOQ= ； 如图 2，动点P 以每秒 1 个单位长度的速度，从点O 沿线段 OA 向点A 运动；同时动点 D 以相同的速度，从点B 沿折线B﹣C﹣O 向点O 运动．当点P 到达点A 时，两点同时 停止运动．过点P 作直线 PE∥ OC，与折线 O﹣B﹣A 交于点E．设点P 运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时点E 的坐标． 3 5 10 【答案】（1）4；（2） 5 ；（3）点E 的坐标为（1，2）、（ 3 ， 【解析】 3 ）、（4，2）． 分析：（1）过点 B 作 BH⊥OA 于 H，如图 1（1），易证四边形 OCBH 是矩形，从而有 OC=BH，只需在△ AHB 中运用三角函数求出 BH 即可． 过点 B 作 BH⊥OA 于 H，过点 G 作 GF⊥OA 于 F，过点 B 作 BR⊥OG 于 R，连接 MN、DG，如图 1（2），则有 OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为 r，则MN=MB=MD=r．在 Rt△ BHD 中运用勾股定理可求出 r=2，从而得到点 D 与点 H 重合．易证 △ AFG∽ △ ADB，从而可求出 AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设 OR=x，利用 BR2=OB2﹣ OR2=BG2﹣RG2 可求出 x，进而可求出 BR．在 Rt△ ORB 中运用三角函数就可解决问题． 由于△ BDE 的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠ BDE=90°， ②∠ BED=90°，③∠ DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立 关于 t 的方程就可解决问题． 详解：（1）过点 B 作 BH⊥OA 于 H，如图 1（1），则有∠ BHA=90°=∠ COA，∴ OC∥ BH． ∵ BC∥ OA，∴ 四边形 OCBH 是矩形，∴ OC=BH，BC=OH． ∵ OA=6，BC=2，∴ AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4． ∵ ∠ BHA=90°，∠ BAO=45°， BH ∴ tan∠ BAH= HA =1，∴ BH=HA=4，∴ OC=BH=4． 故答案为 4． 过点 B 作 BH⊥OA 于 H，过点 G 作 GF⊥OA 于 F，过点 B 作 BR⊥OG 于 R，连接MN、DG，如图 1（2