中考数学平行四边形(大题培优)附答案.docx

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上的一动点（不与点B、C 重合），连接DE、点 C 关于直线DE 的对称点为C′，连接 AC′并延长交直线 DE 于点P，F 是AC′的中点，连接 DF． 求∠FDP 的度数； 连接BP，请用等式表示AP、BP、DP 三条线段之间的数量关系，并证明； 连接AC，若正方形的边长为 2 ，请直接写出△ACC ′的面积最大值． 【答案】（1）45°；（2）BP+DP ＝ 2 AP，证明详见解析；（3） 2 ﹣1． 【解析】 【分析】 1 证明∠CDE＝∠CDE 和∠ADF ＝∠CDF，可得∠FDP＝ 2  ∠ADC ＝45°； 作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP ≌△DAP （SAS），得 BP＝DP ，从而得 △PAP是等腰直角三角形，可得结论； 先作高线CG ，确定△ACC ′的面积中底边 AC 为定值 2，根据高的大小确定面积的大小，当C在 BD 上时，CG 最大，其△ACC ′的面积最大，并求此时的面积． 【详解】 由对称得：CD ＝CD ，∠CDE＝∠CDE ，在正方形ABCD 中，AD ＝CD ，∠ADC ＝90°， ∴AD ＝CD ， ∵F 是AC的中点， ∴DF⊥AC，∠ADF ＝∠CDF， 1 ∴∠FDP＝∠FDC+∠EDC ＝ 2 ∠ADC ＝45°； 结论：BP+DP ＝ 2 AP， 理由是：如图，作AP ⊥AP 交 PD 的延长线于P， ∴∠PAP＝90°， 在正方形ABCD 中，DA ＝BA，∠BAD ＝90°， ∴∠DAP ＝∠BAP ， 由（1）可知：∠FDP＝45° ∵∠DFP＝90° ∴∠APD ＝45°， ∴∠P＝45°， ∴AP＝AP ， 在△BAP 和△DAP 中， BA DA ∵ BAP DAP ， AP AP ∴△BAP≌△DAP （SAS）， ∴BP＝DP ， ∴DP +BP＝PP＝ 2 AP； 1 如图，过C作 CG ⊥AC 于G ，则S△ACC＝ 2 AC CG ， Rt△ABC 中，AB＝BC＝ 2 ， ∴AC＝ ( 2)2 ( 2)2 2 ，即 AC 为定值， 当 CG 最大值，△ACC 的面积最大， 连接BD ，交AC 于O ，当 C在 BD 上时，CG 最大，此时G 与O 重合， ∵ CD＝CD＝ 2 ，OD＝ 1 AC＝1， 2 ∴ CG＝ 2 ﹣1， 1∴ S ＝ AC ? C?G ? 1 ? 2( 2 ?1) ? 2 ?1 ． 1 △ ACC 2 2 【点睛】 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 如图，四边形 ABCD 中，∠ BCD=∠ D=90°，E 是边 AB 的中点.已知 AD=1，AB=2. 设 BC=x，CD=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； 当∠ B=70°时，求∠ AEC 的度数； 当△ ACE 为直角三角形时，求边 BC 的长. 【答案】（1） y ? 1? 17 ?x2 ? 2x ? 3 ?0 ? x ? 3?；（2）∠ AEC=105°；（3）边 BC 的长为 2 或 . 2 【解析】 试题分析：（1）过 A 作 AH⊥BC 于 H，得到四边形 ADCH 为矩形．在△ BAH 中，由勾股定理即可得出结论． 取 CD 中点 T，连接 TE，则 TE 是梯形中位线，得 ET∥ AD，ET⊥CD， ∠ AET=∠ B=70°． 又 AD=AE=1，得到∠ AED=∠ ADE=∠ DET=35°．由 ET 垂直平分 CD，得∠ CET=∠ DET=35°，即可得到结论． 分两种情况讨论：①当∠ AEC=90°时，易知△ CBE≌ △ CAE≌ △ CAD，得∠ BCE=30°， 解△ ABH 即可得到结论． ②当∠ CAE=90°时，易知△ CDA∽ △ BCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过 A 作 AH⊥BC 于 H．由∠ D=∠ BCD=90°，得四边形 ADCH 为矩形． 在△ BAH 中，AB=2，∠ BHA=90°，AH=y，HB= x ?1 ，∴ 22 ? y2 ? x ?12 ， 则 y ? ?x2 ? 2x ? 3 ?0 ? x ? 3? 取 CD 中点 T，联结 TE，则 TE 是梯形中位线，得 ET∥ AD，ET⊥CD， ∴ ∠ AET=∠ B=70°． 又 AD=AE=1，∴ ∠ AED=∠ ADE=∠ DET=35°．由 ET 垂直平分 CD，得∠ CET=∠ DET=35°， ∴ ∠ AEC=70°＋35°=105°． 分两种情况讨论：①当∠ AEC=90°时，