中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类.docx

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 如图，△ ABC 的内接三角形，P 为 BC 延长线上一点，∠ PAC=∠ B，AD 为⊙O 的直径， 过 C 作 CG⊥AD 于 E，交 AB 于 F，交⊙O 于G． 判断直线 PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由； 求证：AG2=AF·AB； 若⊙O 的直径为 10，AC=2 5 ，AB=4 5 ，求△ AFG 的面积. 【答案】（1）PA 与⊙O 相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3. 【解析】 试题分析：（1）连接 CD，由 AD 为⊙O 的直径，可得∠ ACD=90°，由圆周角定理，证得 ∠ B=∠ D，由已知∠ PAC=∠ B，可证得 DA⊥PA，继而可证得 PA 与⊙O 相切． 连接 BG，易证得△ AFG∽ △ AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论. 连接 BD，由 AG2=AF?AB，可求得 AF 的长，易证得△ AEF∽ △ ABD，即可求得 AE 的 长，继而可求得 EF 与 EG 的长，则可求得答案． 试题解析：解：（1）PA 与⊙O 相切．理由如下： 如答图 1，连接 CD， ∵ AD 为⊙O 的直径，∴ ∠ ACD=90°. ∴ ∠ D+∠ CAD=90°. ∵ ∠ B=∠ D，∠ PAC=∠ B，∴ ∠ PAC=∠ D. ∴ ∠ PAC+∠ CAD=90°，即 DA⊥PA. ∵ 点A 在圆上， ∴ PA 与⊙O 相切． 证明：如答图 2，连接 BG， ∵ AD 为⊙O 的直径，CG⊥AD，∴ AC ? AD .∴ ∠ AGF=∠ ABG. ∵ ∠ GAF=∠ BAG，∴ △ AGF∽ △ ABG. ∴ AG：AB=AF：AG. ∴ AG2=AF?AB. 如答图 3，连接 BD， ∵ AD 是直径，∴ ∠ ABD=90°. ∵ AG2=AF?AB，AG=AC=2 5 ，AB=4 5 ，∴ AF= 5 . ∵ CG⊥AD，∴ ∠ AEF=∠ ABD=90°. ∵ ∠ EAF=∠ BAD，∴ △ AEF∽ △ ABD. ∴ ∴ EF ? AF 2 ? AE 2 ? 1 . AE AF AE 5 ? ?AB AD ，即 4 ? ?  ，解得：AE=2. ∵ EG ? AG2 ? AE2 ? 4 ，∴ FG ? EG ? EF ? 4 ?1 ? 3 . ∴ S ? 1 FG ? AE ? 1 ? 3? 2 ? 3 ． ?AFG 2 2 考点：1. 圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3. 相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积. 已知：如图，在矩形 ABCD 中，点O 在对角线 BD 上，以 OD 的长为半径的⊙O 与 AD， BD 分别交于点E、点F，且∠ ABE=∠ DBC． 判断直线 BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； 3 若 sin∠ ABE= 3 ，CD=2，求⊙O 的半径． 3 【答案】（1）直线 BE 与⊙O 相切，证明见解析；（2）⊙O 的半径为 2 ． 【解析】 分析：（1）连接 OE，根据矩形的性质，可证∠ BEO=90°，即可得出直线 BE 与⊙O 相切； （2）连接 EF，先根据已知条件得出 BD 的值，再在△BEO 中，利用勾股定理推知 BE 的长，设出⊙O 的半径为 r，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值． 详解：（1）直线 BE 与⊙O 相切．理由如下： 连接 OE，在矩形 ABCD 中，AD∥ BC，∴ ∠ ADB=∠ DBC． ∵ OD=OE，∴ ∠ OED=∠ ODE． 又∵ ∠ ABE=∠ DBC，∴ ∠ ABE=∠ OED， ∵ 矩形 ABDC，∠ A=90°，∴ ∠ ABE+∠ AEB=90°， ∴ ∠ OED+∠ AEB=90°，∴ ∠ BEO=90°，∴ 直线 BE 与⊙O 相切； （2）连接 EF，方法 1： ∵ 四边形 ABCD 是矩形，CD=2，∴ ∠ A=∠ C=90°，AB=CD=2． 3 ∵ ∠ ABE=∠ DBC，∴ sin∠ CBD= sin? ABE ? 3 ， ∴ BD ? DC ? 2 3 ， sin? CBD 在 Rt△ AEB 中 ，∵ CD=2，∴ BC ? 2 2 ． DC AE 2 AE ∵ tan∠ CBD=tan∠ ABE，∴ BC 由勾股定理求得BE ? 6 ． ? AB ，? 2 2 ? 2 ，? AE ? 2 ， 在 Rt△ BEO 中，∠ BEO=90°，EO2+EB2=OB2． 3 设⊙O 的半径为 r，则r 2 ?（ 6）2 ?（2 3 ? r）2 ，∴ r= 2 ， 方法 2：∵ DF 是⊙O 的直径，∴ ∠ DEF=90°． ∵ 四边形