中考数学 圆的综合 综合题附详细答案.docx

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点P 在⊙O 的直径 AB 的延长线上，PC 为⊙O 的切线，点C 为切点，连接 AC， 过点A 作 PC 的垂线，点D 为垂足，AD 交⊙O 于点E． 如图 1，求证：∠ DAC=∠ PAC； 如图 2，点 F（与点C 位于直径 AB 两侧）在⊙O 上， BF ? FA ，连接 EF，过点 F 作 AD 的平行线交 PC 于点G，求证：FG=DE+DG； 2 在(2)的条件下，如图 3，若 AE= 3 DG，PO=5，求 EF 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=3 2 ． 【解析】 【分析】 连接 OC，求出 OC∥ AD，求出 OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； 连接 BE 交 GF 于 H，连接 OH，求出四边形 HGDE 是矩形，求出 DE=HG，FH=EH，即可得出答案； 设 OC 交 HE 于M，连接 OE、OF，求出∠ FHO=∠ EHO=45°，根据矩形的性质得出 1 2 EH∥ DG，求出 OM= 2 AE，设 OM=a，则 HM=a，AE=2a，AE= 3 DG，DG=3a， MO 1 CO 1 求出 ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出 tan∠ MBO＝ BM ? 2 ，tanP= PO ? 2 ,设 OC=k，则 PC=2k，根据 OP= 5 k=5 求出 k= 5 ，根据勾股定理求出a，即可求出答案． 【详解】 证明：连接 OC， ∵ PC 为⊙O 的切线， ∴ OC⊥PC， ∵ AD⊥PC， ∴ OC∥ AD， ∴ ∠ OCA=∠ DAC， ∵ OC=OA， ∴ ∠ PAC=∠ OCA， ∴ ∠ DAC=∠ PAC； 证明：连接 BE 交 GF 于 H，连接 OH， ∵ FG∥ AD， ∴ ∠ FGD+∠ D=180°， ∵ ∠ D=90°， ∴ ∠ FGD=90°， ∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠ BEA=90°， ∴ ∠ BED=90°， ∴ ∠ D=∠ HGD=∠ BED=90°， ∴ 四边形 HGDE 是矩形， ∴ DE=GH，DG=HE，∠ GHE=90°， ∵ BF ? AF ， 1 1 ∴ ∠ HEF=∠ FEA= 2 ∠ BEA= 2 ? 90o =45°， ∴ ∠ HFE=90°﹣∠ HEF=45°， ∴ ∠ HEF=∠ HFE， ∴ FH=EH， ∴ FG=FH+GH=DE+DG； 解：设 OC 交 HE 于M，连接 OE、OF， ∵ EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴ △ FHO≌ △ EHO， ∴ ∠ FHO=∠ EHO=45°， ∵ 四边形 GHED 是矩形， ∴ EH∥ DG， ∴ ∠ OMH=∠ OCP=90°， ∴ ∠ HOM=90°﹣∠ OHM=90°﹣45°=45°， ∴ ∠ HOM=∠ OHM， ∴ HM=MO， ∵ OM⊥BE， ∴ BM=ME， 1 ∴ OM= 2 AE， 2 设 OM=a，则 HM=a，AE=2a，AE= 3 DG，DG=3a， ∵ ∠ HGC=∠ GCM=∠ GHE=90°， ∴ 四边形 GHMC 是矩形， ∴ GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a， ∵ DG=HE，GC=HM， ∴ ME=CD=2a，BM=2a， MO a 1 在 Rt△ BOM 中 ，tan∠ MBO= BM ∵ EH∥ DP， ∴ ∠ P=∠ MBO， CO 1 ? 2a ? 2 ， tanP= PO ? 2 ， 设 OC=k，则 PC=2k， 在 Rt△ POC 中，OP= 5 k=5， 解得：k= 5 ，OE=OC= 5 ， 在 Rt△ OME 中，OM2+ME2=OE2，5a2=5， a=1， ∴ HE=3a=3， 在 Rt△ HFE 中，∠ HEF=45°， ∴ EF= 2 HE=3 2 ． 【点睛】 2． 2．如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是 的中点，D 是 的中点，AC 与 BD 相交于点 E. 求证：BD 平分∠ ABC； 求证：BE=2AD； DE 求 BE 的值.  2 ?1 【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3） 2 【解析】 试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦 AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可； 延长 BC 与 AD 相交于点 F, 证明△ BCE≌ △ ACF, 根据全等三角形的性质可得 BE=AF=2AD； 连接 OD,交 AC 于 H.简要思路如下：设 OH 为 1，则 BC 为 2，OB=OD= 2 ， 试题解析：（1）∵ D 是 的中点DH= 试题解析：（1）∵ D 是 的中点 ∴ AD=DC ∴ ∠ CBD=∠ ABD ∴ BD 平分∠ ABC 提示：延