中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)及答案.docx

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 如图①：将矩形纸片 ABCD 折叠，使点D 与点 如图①：将矩形纸片 ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点 处，折痕为 EF，若 ∠ ABE＝20°，那么 的度数为 . 、观察发现： 小明将三角形纸片 ABC（AB＞AC）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到△ AEF（如图③）．小明认为△ AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． 、实践与运用： 将矩形纸片 ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与 AD 边交于点E，与 BC 边交于点F；将矩形 ABFE 与矩形 EFCD 分别沿折痕 MN 和 PQ 折叠，使点A、点D 都与点F 小.重合，展开纸片，此时恰好有 MP＝MN＝PQ（如图④），求∠ MNF 小. 【答案】（1）125°；（2）同意；（3）60° 【解析】 试题分析：（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ AEB=70°，根据折叠重合的角相等，得∠ BEF=∠ DEF=55°，根据平行线的性质得到∠ EFC=125°，再根据折叠的性质得到 ∠ EFC′=∠ EFC=125°； 根据第一次折叠，得∠ BAD=∠ CAD；根据第二次折叠，得 EF 垂直平分 AD，根据等角的余角相等，得∠ AEG=∠ AFG，则△ AEF 是等腰三角形； 由题意得出：∠ NMF=∠ AMN=∠ MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出 △ MNF≌ △ MPF，得出 3∠ MNF=180°求出即可． 试题解析：（1）、∵ 在直角三角形 ABE 中，∠ ABE=20°， ∴ ∠ AEB=70°， ∴ ∠ BED=110°， 根据折叠重合的角相等，得∠ BEF=∠ DEF=55°． ∵ AD∥ BC， ∴ ∠ EFC=125°， 再根据折叠的性质得到∠ EFC′=∠ EFC=125°．； 、同意，如图，设 AD 与 EF 交于点G 由折叠知，AD 平分∠ BAC，所以∠ BAD=∠ CAD． 由折叠知，∠ AGE=∠ DGE=90°， 所以∠ AGE=∠ AGF=90°， 所以∠ AEF=∠ AFE． 所以 AE=AF， 即△ AEF 为等腰三角形． 、由题意得出：∠ NMF＝∠ AMN＝∠ MNF， ∴ MF＝NF， 由折叠可知，MF＝PF， ∴ NF＝PF， 而由题意得出：MP＝MN， 又∵ MF＝MF， ∴ △ MNF≌ △ MPF， ∴ ∠ PMF＝∠ NMF，而∠ PMF＋∠ NMF＋∠ MNF＝180°， 即 3∠ MNF＝180°， ∴ ∠ MNF＝60°. 考点：1.折叠的性质；2.等边三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.等腰三角形的判定 阅读下列材料： 我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题： 下列哪个四边形一定是和谐四边形 ． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是 命题（填“真”或“假”）． 如图，等腰 Rt△ ABD 中，∠ BAD＝90°．若点 C 为平面上一点，AC 为凸四边形 ABCD 的和谐线，且 AB＝BC，请求出∠ ABC 的度数． 【答案】（1） C ；（2）∠ ABC 的度数为 60°或 90°或 150°. 【解析】 试题分析：（1）根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论. （2）根据和谐四边形定义，分 AD=CD，AD=AC，AC=DC 讨论即可. 根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．故选C. ∵ 等腰 Rt△ ABD 中，∠ BAD=90°，∴ AB=AD. ∵ AC 为凸四边形 ABCD 的和谐线，且 AB=BC， ∴ 分三种情况讨论： 若 AD=CD，如图 1，则凸四边形 ABCD 是正方形，∠ ABC=90°； 若 AD=AC，如图 2，则 AB=AC=BC，△ ABC 是等边三角形，∠ ABC=60°； 若 AC=DC，如图 3，则可求∠ ABC=150°. 考点：1.新定义；2．菱形的性质；3．正方形的判定和性质；4．等边三角形的判定和性质；5.分类思想的应用. 如图，点O 是正方形 ABCD 两条对角线的交点，分别延长 CO 到点G，OC 到点 E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以 OG、OE 为邻边作正方形 OEFG． 如图 1，若正方形 OEFG 的对角线交