中考数学旋转(大题培优易错试卷)及详细答案.docx

一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 如图所示， (1)正方形 ABCD 及等腰 Rt△ AEF 有公共顶点A，∠ EAF=90°，连接 BE、DF．将 Rt△ AEF 绕点 A 旋转，在旋转过程中，BE、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明； (2)将(1)中的正方形 ABCD 变为矩形 ABCD，等腰 Rt△ AEF 变为 Rt△ AEF，且 AD=kAB， AF=kAE，其他条件不变．(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由； (3)将(2)中的矩形 ABCD 变为平行四边形 ABCD，将 Rt△ AEF 变为△ AEF，且 ∠ BAD=∠ EAF=a，其他条件不变．(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接 写出结论；如果变化，直接用k 表示出线段 BE、DF 的数量关系，用a 表示出直线 BE、DF 形成的锐角β． 【答案】（1）DF=BE 且 DF⊥BE，证明见解析；（2）数量关系改变，位置关系不变，即 DF=kBE，DF⊥BE；（3）不改变．DF=kBE，β=180°-α 【解析】 【分析】 根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF＝AE，又∠ BAE 与∠ DAF 都与∠ BAF 互余，所以∠ BAE＝∠ DAF，所以△ FAD≌ △ EAB，因此 BE 与 DF 相等，延长 DF 交 BE 于G， 根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠ EGF＝90°，所以 DF⊥BE； 等同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例， 所以△ FAD∽ △ EAB，所以 DF＝kBE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于 360°求出∠ EHF＝90°，所以 DF⊥BE； 与（2）的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于 360°求出∠ EAF+∠ EHF＝180°，所以 DF 与 BE 的夹角β＝180°﹣α． 【详解】 DF 与 BE 互相垂直且相等． 证明：延长 DF 分别交 AB、BE 于点 P、G 在正方形 ABCD 和等腰直角△ AEF 中 AD＝AB，AF＝AE， ∠ BAD＝∠ EAF＝90° ∴ ∠ FAD＝∠ EAB ∴ △ FAD≌ △ EAB ∴ ∠ AFD＝∠ AEB，DF＝BE ∵ ∠ AFD+∠ AFG＝180°， ∴ ∠ AEG+∠ AFG＝180°， ∵ ∠ EAF＝90°， ∴ ∠ EGF＝180°﹣90°＝90°， ∴ DF⊥BE 数量关系改变，位置关系不变．DF＝kBE，DF⊥BE． 延长 DF 交 EB 于点H， ∵ AD＝kAB，AF＝kAE ∴ AD AF ? k ， ? k AB AE ∴ AD ? AF AB AE ∵ ∠ BAD＝∠ EAF＝a ∴ ∠ FAD＝∠ EAB ∴ △ FAD∽ △ EAB ∴ DF ? AF ? k BE AE ∴ DF＝kBE ∵ △ FAD∽ △ EAB， ∴ ∠ AFD＝∠ AEB， ∵ ∠ AFD+∠ AFH＝180°， ∴ ∠ AEH+∠ AFH＝180°， ∵ ∠ EAF＝90°， ∴ ∠ EHF＝180°﹣90°＝90°， ∴ DF⊥BE 不改变．DF＝kBE，β＝180°﹣a． 延长 DF 交 EB 的延长线于点H， ∵ AD＝kAB，AF＝kAE ∴ AD AF ? k ， ? k AB AE ∴ AD ? AF AB AE ∵ ∠ BAD＝∠ EAF＝a ∴ ∠ FAD＝∠ EAB ∴ △ FAD∽ △ EAB ∴ DF ? AF ? k BE AE ∴ DF＝kBE 由△ FAD∽ △ EAB 得∠ AFD＝∠ AEB ∵ ∠ AFD+∠ AFH＝180° ∴ ∠ AEB+∠ AFH＝180° ∵ 四边形 AEHF 的内角和为 360°， ∴ ∠ EAF+∠ EHF＝180° ∵ ∠ EAF＝α，∠ EHF＝β ∴ a+β＝180°∴ β＝180°﹣a 【点睛】 本题（1）中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；（2）（3）利用相似三角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关 键，也是难点所在． 如图（1）所示，将一个腰长为 2 等腰直角△ BCD 和直角边长为 2、宽为 1 的直角△ CED 拼在一起．现将△ CED 绕点 C 顺时针旋转至△ CE’D’，旋转角为 a． 如图（2），旋转角 a=30°时，点 D′到 CD 边的距离 D’A= ．求证：四边形 ACED′ 为矩形； 如图（1），△ CED 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，在 BC 上如何取点 G，使得 GD’=E’D；并说明理由． △ CED 绕点 C