中考数学综合题专题复习【一元二次方程】专题解析及答案.docx

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于 x 的方程 x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0． 若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； 若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线 L 的长． 153 15 【答案】（1）k＞ 4 ；（2） . 【解析】 【分析】 根据关于x 的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0 有两个不相等的实数根，得出△ ＞0，再解不等式即可； m2 ? n2当 k=2 时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是 m、n m2 ? n2 利用根与系数的关系得出 m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为公式进行变形即可求得答案. 【详解】 （1）∵ 方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0 有两个不相等的实数根， ∴ Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0， ∴ k＞ 3 ； 4 (2)当 k＝2 时，原方程为x2－5x＋5＝0， 设方程的两个根为m，n， ∴ m＋n＝5，mn＝5， ，利用完全平方 m2 ? n2?m ? m2 ? n2 ?m ? n?2 ? 2mn 15 【点睛】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系：（1）△ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；（2）△ =0 时，方程有两个相等的实数根；（3）△ ＜0 时，方程没有实数根． 2．已知关于x 的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． 当 a=﹣11 时，解这个方程； 1 2若这个方程有两个实数根x ，x ，求a 1 2 （3）若方程两个实数根x ，x 满足[2+x （1﹣x ）][2+x （1﹣x ）]=9，求 a 的值． 1 2 1 1 2 2 【答案】（1） x 1 ? ?3, x 2 ? 4 （2） a≤ 5 （3）-4 4 【解析】 分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； 根据判别式即可求出 a 的范围； 根据根与系数的关系即可求出答案． 详解：（1）把 a=﹣11 代入方程，得 x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0 或 x﹣ 1 24=0，∴ x =﹣3，x =4 1 2 （2）∵ 方程有两个实数根 x ，x ，∴ △ ≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得 1 2 5 ：a ? 4 ； （3）∵ x ，x 是方程的两个实数根， 1 2 x 2 ? x ? a ?1 ? 0，x 2 ? x ? a ?1 ? 0，? x ? x2 ? a ?1，x ? x2 ? a ?1 ． 1 1 2 2 1 1 2 2 ∵ [2+x （1﹣x ）][2+x （1﹣x ）]=9，∴ ??2 ? x ? x 2 ?? ??2 ? x ? x 2 ?? ? 9 ，把 1 1 2 2 1 1 2 2 x ? x2 ? a ?1，x 1 1 2 x2 2 ? a ?1 代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得： a=﹣4，a=2（舍去），所以 a 的值为﹣4． 点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系． 3．解方程：（1? 2x）2 ? x2 ? 6x ? 9 【答案】 x 1 4 3? ，x 3 2 ? ?2 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可. 试题解析：因式分解，得 （1 ? 2x）2 ?（x ? 3）2 开平方，得 1? 2x ? x ? 3 ，或1? 2x ? ?（x ? 3） 解得x 1 4 3? ，x 3 2 ? ?2 ? 2 ? 3 ? 0? ? 2 ? 3 ? 0 4．解方程： ? 2x ?1 ? ? 2x ?1 ? ． ? ? ? ? 1 【答案】x= 5 或 x=1 【解析】 【分析】 3x 设 y ? 2x ?1 ，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x． 【详解】解：设 y ?  3x 2x ?1 ，则原方程变形为y2-2y-3=0． 解这个方程，得y1=-1,y2=3, ∴ 3x 3x ? ?1 或 ? 3 ． 2x ?1 2x ?1 1 解得 x= 5 或 x=1． 1 经检验：x= 5 或 x=1 都是原方程的解． 或 x=1．∴ 原方程的解是 x= 或 x=1． 5 【点睛】 考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根． 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36 人患了流感． 求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 如果不及时控制，第三轮