中考专题复习·四边形综合专题.docx

兴教育者，恒德也 谢湘君中考专题复习·四边形综合专题恒德教育 内部资料 严禁复印 谢湘君中考专题复习·四边形综合专题 姓名： 日期： 1 1、如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD 相交于点O，将对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α （0°＜α ＜90°）后得直线l，直线l 与AD、BC 两边分别相交于点E 和点F． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）当α =30°时，求线段EF 的长度． 解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD∥BC，AO=OC， 解：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD∥BC，AO=OC， ∴AECF＝OEOF＝AOOC＝1， ∴AE=CF，OE=OF， 在△BCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴∠OAD=60°， ∴∠AEO=90°， 在 Rt△AOB 中， sin∠ABO=AOAB=A△AOE 和 △COF 中 ， AO＝COOE＝OFAE＝CF ∴△AOE≌△COF． （2）当α =30°时，即∠AOE=30°， ∵四边形A12， ∴AO=1， 在 Rt△AEO 中， cos∠AOE=cos30°=OEAO=32， ∴OE=32， ∴EF=2OE=3． 2、如图，在Rt△ ABC 中，∠C＝90o，BD 是 Rt△ ABC 的一条角一平分线，点O、E、F 分别在BD、BC、AC 上，且四边形 OECF 是正方形， 求证：点O 在∠BAC 的平分线上； 若AC＝5，BC＝12，求OE 的长 A MOD M O D F C E 第22题图 【试题分析】 考察角平分线定理的性质，及直角三角形全等的判断方法，“HL” 利用全等得到线段AM＝BE，AM＝AF，利用正方形OECF，得到四边都相等，从而利用OE 与BE、AF 及 AB 的关系求出OE 的长 解：（1）过点O 作ON⊥AB 于点M ∵正方形OECF ∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC 于 E，OF⊥AC 于 F ∵BD 平分∠ABC，OM⊥AB 于 M，OE⊥BC 于 E 持之以恒 同心同德 ∴OM＝OE＝OF ∵OM⊥AB 于 M， OE⊥BC 于 E ∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90° ?OM ? OF 兴教育者，恒德也 恒德教育 内部资料 严禁复印 姓名： 日期： ?∵ ? AO ? AO ? （2）方法一： ∴Rt△AMO≌Rt△AFO ∴∠MA0＝∠FAO ∴点O 在∠BAC 的平分线上 ∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12∴AB＝13 易证：BE＝BM，AM＝AF 又 BE＝BC－CE，AF＝：AC－CF，而CE＝CF＝OE 故：BE＝12－OE，AF＝5－OE 显然：BM＋AM＝AB 即 ：BE＋AF＝13 12－OE＋5－OE＝13 解得OE＝2 方法二 利用面积法： S△ABC＝ 1 AC ? BC 2 S△ABC＝ 1 BC ? OE ? 1 AC ? OE ? 1 BA ? OE 2 2 2 从而解得。 3、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，△ACD 沿AD 折叠，使得点C 落在斜边AB 上的点E 处． 求证：△BDE∽△BAC； 证明：（1）∵∠C=90°，△ACD 沿 AD 折叠，∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°， 证明：（1）∵∠C=90°，△ACD 沿 AD 折叠， ∴∠C=∠AED=90°， ∴∠DEB=∠C=90°， ∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BAC； （2）由勾股定理得，AB=10． 由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°． ∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4， 在 Rt△BDE 中，由勾股定理得， DE2+BE2=BD2， 即 CD2+42=（8﹣CD）2， 解得：CD=3， 在 Rt△ACD 中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2， 即 32+62=AD2， 解得：AD= ． 持之以恒 同心同德 兴教育者，恒德也 恒德教育 内部资料 严禁复印 姓名： 日期： 4、如图，在?ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B 作 BE⊥AB 交 AC 于点E． 求证：AC⊥BD； 若AB=14，cos∠CAB= ，求线段OE 的长． 考点：菱形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形． 分析：（1）根据∠CAB=∠ACB 利用等角对等边得到AB=CB，从而判定平行四边形ABCD 是菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论； （2）分别在Rt△AOB 中和在Rt△ABE 中求得AO 和AE，从而利用OE=AE﹣AO 求解即可． 解答：解：（1）∵∠CAB=∠ACB， ∴AB=CB， ∴?ABCD 是菱形． ∴AC⊥BD； （2）在Rt△AOB