东北师范大学《离散数学》课件-第六章-环.pdfVIP

离散数学 第六章-环 第六章 环 第一讲 环的定义 §6.5 环 6.5.1 环的定义及性质   定义 6.5.1 设 R 是一个非空集合，其中有 加法乘法两种运算 R 叫做一个环，如果 1 ） a+b=b+a 2 ） a+ （b+c ） = （a+b ） +c 3 ） R 中有一个元素 0 ，适合 a+0=a 4 ）对于 R 中任意 a, 有 -a, 适合 a+(-a)=0 5 ） a(bc)= （ab ） c 6 ） a(b+c)=ab+ac, （a+b ） c=ac+bc 。 以上 1 ）到 4 ）说明了 R 对于加法构成一个 Abel 群 5 ）表示乘法适合结合律 6 ）表 示乘法对于加法有分配律；由于乘法不见得 适合交换律，所以分配律有两个。 例 6.5.1 所有整数在整数的加法与乘法下作 成一个环，叫做整数环。 例 6.5.2 所有矩阵在矩阵的加法与乘法下作 成一个环，叫做矩阵环。 例 6.5.3 实数域上的所有多项式在多项式加 法与乘法下作成一个环 , 叫做多项式环。 例 6.5.4 整数模 n 的所有剩余类集合在剩余 类加法与乘法下作成一个环。 例 6.5.5 所有有理数、所有实数、所有复数 在数的加法与乘法下都分别作成环 , 常称为有理数域、实数域、复数域。 第二讲 环的性质 (一 ) (一 )   性质 1 用数学归纳法 , 分配律可以推广如 下 : a （b +…+b ） = ab +…+ab ， 1 n 1 n m n （a +…+a ） b = a b+…+a b ，    1 m 1 m i1 j 1 i ,j a b = a b 。 i j i j 所以 , 当 m 为正整数时 ,a,b 环 R, a(mb)=(ma)b=m(ab), 并且规定 0a=0, 其中第一个 0 是整数，第二个 0 是环中单位 元。 性质 2 a （c-b ） =ac-ab ，（ c-b ） a=ca- ba 。 证明： 因为 a （c-b ） +ab=a （c- 性质 3 a0=0 ， 0a=0 。 证明：由性质 2, 令 b=c=0, 得 a(0-0)=a0- a0=0, (0-0)a=0a - 0a=0, 即 a0=0,0a=0 。 性质 4 a(-b)=-(ab),(-a)b=-(ab), (-a)(-b)=ab 。 证明：由性质 2 ，令 c=0 ，即得 a(-b)=- (ab), (-a)b=-(ab) 。 因此 ,(-a)(-b)=-(-(ab))=ab 。 性质 5 对任意整数 m ， 都有 a （mb ） = （ma ） b = m （ab ）。 第三讲 环的性质 (二 ) (二 ) m+n m n m n mn 性质 6 a =a a ,(a ) =a 。 定义 6.5.2 如果乘法适合交换律： ab=ba 则称 R 是一