湖南师范大学《概率论与数理统计》课件-第3章多维随机变量.pdfVIP

第三章 多维随机变量及其分布 •二维随机变量 •联合分布 •边缘分布 •条件分布 •相互独立的随机变量 •两个随机变量函数的分布 §1 二维随机变量 定义 将n个随机变量X ，X ，...,X 构成一个n维 1 2 n 向量(X X ,...,X )，称为n维随机变量或随机向量。 1, 2 n 多维随机变量的研究方法与一维类似， 用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律。 一维随机变量X——R1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标，p74 二维随机变量(X,Y) 中的X 、Y定义在同一样本空间S上 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X 、Y有关，而且还 依赖于它们间的相互关系。 二. 联合分布函数 2 定义：设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)∈R , 则称 F(x,y) P{(X≤x)∩ (Y≤y)}= P{X≤x,Y≤y} 为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 注：事件{X≤x,Y≤y}表示事件{X≤x}与事件{Y≤y}之积 P {X≤x , Y≤y} ≠ P {X≤x} P{Y≤y} (除非这两个事件是独立的) P {X≤x , Y≤y}=P {X≤x} P{Y≤y|X ≤x} 联合分布函数的几何意义 x , y 分布函数F( )表示随机 0 0 点(X,Y)落在区域 {( ) } x , y ,−∞ x ≤ x0 ,−∞ y ≤ y 0 中的概率。如图阴影部分： 2 设(x , y ), (x , y ) ∈R , (x x y y ), 则 1 1 2 2 1 2， 1 2 P{x X≤ x y y≤y } 1 2， 1 2 ＝F(x , y ) －F(x , y ) －F (x , y ) ＋F (x , y ). 2 2 1 2 2 1 1 1 (x , y ) 1 2 (x , y ) 2 2 (x , y ) (x , y ) 1 1 2 1 分布函数F(x,y)具有如下性质： 2 (1)归一性 对任意(x, y) ∈R , 0≤ F(x, y) ≤ 1, F ( ∞ , ∞ ) lim F ( x , y ) 1