因式分解分析和总结.docx

北 京 四 中 撰 稿: 张 红 编 审：赵云洁因式分解――提公因式法 （一）、内容提要 多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与第一章整式和后一章分式联系极为密切。因式 分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组 及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。 因式分解的概念是把一个多项式化成 n 个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。它的理论依据就是乘法的分配律。运用这 个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察， 提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。 [知识要点] 1．了解因式分解的意义和要求 理解公因式的概念 掌握提公因式的概念，并且能够运用提公因式法分解因式 （二）、例题分析 例 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ） 1.(x+1)(x-2)=x2-x-2 =a(x-y)-a =2x2·3y3 =(x+2)(x-2) +3a=3a(3a2-2a) A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 分析：从左到右，式 1 是整式乘法；式 2 右端不是积的形式；式 3 中左右两边的均是单项式， 原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成 n 个整式的乘积形式；式 5 的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式 4 是正确的。 解：B 例 2．把-3a2b3+6a3b2c+3a2b 分解因式 分析：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“ -”号，使括号内的第一项的系数是正的。此题各项系数的最大公约数是 3，相同字母的最低次项是 a2b. 解：-3a2b3+6a3b2c+3a2b =-(3a2b3-6a3b2c-3a2b) =-3a2b(b2-2abc-1) 评注：当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后，该项应为 1 或-1，而不是零。1 作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可利用 因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检查。例如， 观察-3a2b(b2-2abc-1) 是否等于 -3a2b3+6a3b2c+3a2b，从而检查分解是否正确以及丢项漏项。 例 3．分解因式 3a2b(2x-y)-6ab2(y-2x) 分析：因为 y-2x=-(2x-y), 就是说 y-2x 与 2x-y 实质上是相同因式，因此本题的公因式是3ab(2x-y). 解：3a2b(2x-y)-6ab2(y-2x) =3a2b(2x-y)+6ab2(2x-y) =3ab(2x-y)(a+2b) 评注：本题的公因式是多项式，此类型题只要把(2x-y)看作一个整体即可。另外，注意因式 分解的结果，单项式写在多项式的前面。 例 4．分解因式：2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(b-a)2 分析：要找出这三个项的公因式。因为(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2，因此(a-b)2 就是公因式， 分解结果有相同的因式要写成幂的形式。 解：2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(b-a)2 =2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(a-b)2 =a(a-b)2[2(a-b)-a+b] =a(a-b)2(a-b) =a(a-b)3. 评注：多项式中的公因式，有些比较简单，有些则比较复杂，需要进行些运算才能发现公因 式，但不能生搬硬套。记住下面结论是有益的。 当 n 为奇数时，(x-y)n=-(y-x)n; 当 n 为偶数时，(x-y)n=(y-x)n. 例 5．不解方程组 求 7y(x-3y)2-2(3y-x)3 的值。 分析：先把 7y(x-3y)2-2(3y-x)3 进行因式分解，再将 2x+y=6 和 x-3y=1 整体代入。 解：7y(x-3y)2-2(3y-x)3 =7y(x-3y)2+2(x-3y)3 =(x-3y)2[7y+2(x-3y)] =(x-3y)2(2x+y) ∵ ∴原式=12×6=6 评注：先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用。 例 6．求证：32000-4×31999+10×31998 能被 7 整除。 分析：先把 32000-4×31999+10×31998 因式分解 证明：∵32000-4×31999+10×31998 =31998×(32-4×3+10) =7×31998 ∴32000-4×31999+10×31998 能被 7 整除。 （三）、练习一、选择题： （1）在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A、-5x2y3=-5xy(xy2) B、x2-4-3x=(x+2)(x-2)-3x C、ab2-2ab=ab(b-2) D、(x-3)(x+3