2.9(闭区间上连续函数的性质).PPTVIP

* 零点定理 使 * 证2 例 证明: 介值定理 使 * * * * 一、最大值和最小值定理 二、介值定理 §2.9 闭区间上连续函数的性质 * 在闭区间上的连续函数有一些重要的性质, 这些性质主要应用于分析和论证某些问题时作 为理论的根据. 这些性质的几何意义很明显. * 一、最大值和最小值定理 定义: 例如 （最小值） * 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. * 注意 1. 若区间是开区间, 定理不一定成立; 2. 若区间内有间断点, 定理不一定成立. * 3. “闭区间”和“连续性” 而不是必要条件. 仅是定理的充分条件, 对开区间 取得最小值 函数 处取得最大值1. 如 函数 在 处取得最大值1; 又如 在闭区间 上有间断点 取得最小值 但它在 * 证 如图， 定理2 (有界性定理) 有 由最值定理, 取 则有 * 的零点. 定理3(方程实根的存在定理) 使得 零点定理 几何意义: 如图所示. 二、介值定理 至少有一个交点. 定理4 (介值定理) 使得 * 定理 (介值定理) 使得 证 零点定理 辅助函数 辅助函数的构造： * * 推论 之间的任何值. 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 注 闭区间上连续函数的性质常用于: 证明某些等式或不等式; 判断某些方程根的存在性或实根的范围. * * 例 证 由零点定理, * 证 由零点定理, * 证 则 零点定理 且 例 * 证 由零点定理, * 证1 例 证明: 令 * * *