6.1(微分中值定理).PPTVIP

证 作辅助函数 拉格朗日中值公式 且 * * 为物体由t=a 到t=b 一段时间内的平均速度 v. 拉格朗日中值定理告诉我们，这一段时间内，至少在某时刻 t =?, 物体的速度 v(? ) 恰好等于其平均速度 v . 拉格朗日中值定理的物理意义 设物体的运动方程为 s=f (t), 则 * 定理结论的几种等价写法 (1) (2) (3) (4) * 推论1 证明 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 推论2 * 例 证 * 例 验证拉格朗日中值定理对函数 解 由拉格朗日中值公式 * 例 证 如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系, 通常就想到微分中值定理. 记 利用微分中值定理, 得 * 例 证 由上式得 * 例 证1 证2 * * * * * * 第六章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用 * 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 §6.1 微分中值定理 推广 泰勒(Taylor)公式(第三节) (mean value theorem) 且 存在 * 驻点 导数为0的点称为函数的驻点 . 一、罗尔(Rolle)定理 费马(Fermat)引理 * 证 设 有 由极限的保号性 且 存在 费马引理 * 几何解释 在有切线的地方达到局部高（或低）点处，切线必为水平的. * 罗尔定理 (1) (2) (3) 使得 罗尔定理：(简写) 有水平的切线 * 罗尔定理的几何意义： 罗尔定理： 证 由费马定理: * * (1) 定理条件不全具备, 注 结论不一定成立. 罗尔定理 (1) (2) (3) 使得 在x=1点不连续 在x=0点不可导 1 1 * (2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为: 则在( a , b )内至少存在一点 使 提示 证 F(x)在[a,b]上满足罗尔定理 . 在( a , b )内可导,且 * * 例 证 (1) (2) 定理的假设条件满足 结论正确 验证罗尔定理的正确性. 罗尔定理肯定了 的存在性, 一般没必要知道 究竟等于什么数, 只要知道 存在即可. * 例 证 由零点定理 即原方程有小于1的正实根. 矛盾, * 例 试证方程 证明 零点定理 证明无法继续！ * 例 试证方程 分析 注意到: * 证 设 且 罗尔定理 即 试证方程 零点定理辅助函数的构造： 罗尔定理辅助函数的构造： * 分析： 作辅助函数 * 利用罗尔定理. 作辅助函数 证明： 罗尔定理 * 分析 作辅助函数 证明 * 利用罗尔定理. 罗尔定理 * * 证明： 由Rolle定理 再由Rolle定理 分析： 作辅助函数 证明 罗尔定理 * 求导前 * * 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 简写： 注 拉格朗日中值定理 (1) (2) 使得 几何解释: 在该点处的切线 平行于弦 * 分析1 分析2 * * * * 运行时, 点击 “费马引理” 或“费马”按钮, 或相片, 可显示费马简介, 并自动返回 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 运行时, 点击 “费马引理” 或“费马”按钮, 或相片, 可显示费马简介, 并自动返回 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *