一元微分学复习.PPTVIP

* 5、无穷小的比较 设 ? , ? 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 ? 是 ? 的高阶无穷小 ? 是 ? 的低阶无穷小 ? 是 ? 的同阶无穷小 ? 是 ? 的等价无穷小 ? 是 ? 的 k 阶无穷小 * 6、常用等价无穷小 * 二、导数与微分 1. 导数的几何意义: 切线的斜率. 2. 函数可导一定连续，但连续不一定可导. 3. 有限次四则运算的求导法则 ( C为常数 ) * 4. 常数和基本初等函数的导数 * 5. 复合函数求导法则 6. 隐函数求导法则: 直接对方程两边对x求导; 7. 对数求导法: 对方程两边取对数, 按隐函数的求导法则求导; * 8. 参数方程求导: 9. 关 系 * 10. n阶导数 直接法 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式. —— 逐阶求导法. 利用归纳法. 求法 * 11. 高阶导数的运算法则: 莱布尼兹公式 * 12. 常用高阶导数公式 * 例 解 * 13. 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率. 之间联系， 步骤如下: 找出相关变量 x, y的关系式 对t 求导 相关变化率 求出未知的相关变化率. 之间的关系式. 代入指定时刻的变量值及已知变化率, 1) 2) 3) * 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 三、 微分中值定理及其应用 * 2. 常用函数的麦克劳林公式 * 3. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (3) 证明恒等式或不等式 (4) 证明有关中值问题的结论 (2) 证明方程根的存在性 * 利用 一般解题方法: 证明含一个中值的等式或根的存在, 若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用 若已知条件中含高阶导数, 若结论中含两个或两个以上的中值, 4. 有关中值问题的解题方法 (1) 可用原函数法找辅助函数. (2) 柯西中值定理. 中值定理. (3) (4) 有时也可考虑 多考虑用泰勒公式, 逆向思维, 设辅助函数. 多用罗尔定理, 必须多次应用 对导数用中值定理. (5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. * (1) 研究函数的性态: 增减, 极值, 凹凸, 拐点, 渐近线. (2) 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题 (3)其他应用: 求不定式极限; 几何应用; 相关变化率. 证明等式和不等式; 研究方程实根等; 曲率的计算公式 5. 导数应用 * 6. 极限求法 对某些不能直接利用四则运算法则的极限, 有时可采用下述方法: (1) 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系; (2) 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质; (4) 无穷小因子分出法; (3) 消去零因子法; * (6) 直接利用无穷大的概念判断; (5) 根式转移法; (7) 利用左右极限求分段函数极限. 为了对求极限的方法有全面的了解,指出 (8) 利用夹逼定理; (9) 利用连续函数的性质; (10) 利用等价无穷小代换; (11) 利用未定式求极限法. 还有下述方法: * 则 0 . 设 解 0 . 例 * 令 例 * * 例 * 解 原式= 求极限 例 * 已知 则常数 解 例 * 当 时， 与 是同阶无穷小，则 2 。 解 例 法1 解 * 法2 * 解 所以, 但函数 f (x)在该点连续. 为f (x)的极大值. * 或 令 解 * * 确定常数a,b 例 的取值，使得 解1 12-13期末 1. * 于是 洛比达 * * * * * * * * * * * * * * * * * 左连续 右连续 在点 连续的等价形式 有 一、极限与连续 * 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 2、 在点 间断的类型: * 基本初等函数在定义域上连续 连续函数的四则运算结果仍连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 说明 分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性. 3、初等函数的连续性. (求极限的又一种方法) * 有界性定理; 最值定理; 介值定理; 零点定理. 4、闭区间上连续函数 * * * * * * * * * * * * * * * *