7.4(平面曲线弧长和旋转体的侧面积).PPTVIP

* 运行时, 点击按钮 “星形线”, 可显示星形线的生成及参数的几何意义, 演示结束自动返回. * 一、平面曲线弧长的概念 二、直角坐标情形 三、参数方程情形 四、极坐标情形 §7.4 平面曲线的弧长 及旋转体的侧面积 *五、旋转体的侧面积 * 一、平面曲线弧长的概念 设A、B是曲线弧上 在弧上 插入分点 并依次连接相邻分点得一内接折线, 当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时, 此折线的长 的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB 的弧长. 的两个端点, 定理 光滑曲线弧是可求长. * 二、直角坐标情形 弧长微元 弧长 小切线段的长 用对应小切线段的长代替小线段的长, 设曲线弧为 其中 有一阶连续导数. 取积分变量为x, 任取小区间 (弧微分) * 弧长微元 弧长 设曲线弧为 取积分变量为y, * 解 所求弧长为 例 解 所求弧长为 例 悬链线方程 计算介于 之间一段弧长度. * 所求弧长为 * * 计算曲线 的弧长 解 * 三、参数方程情形 曲线弧为 弧长 其中 具有连续导数. * 解 星形线的参数方程为 对称性 第一象限部分的弧长 例 求星形线 的全长. * 证 设正弦线的弧长等于 设椭圆的周长为 证明正弦线 的弧长等于 椭圆 的周长. * 四、极坐标情形 曲线弧为 弧长 其中 具有连续导数. * 解 例 * 解 * *五、旋转体的侧面积 设曲线弧为 其中 有一阶连续导数, 将此曲线绕x 轴旋转一周, 求所生成的旋转体的侧面积A? 取积分变量为x, 对应的 旋转体的侧面积 * 运行时, 点击按钮 “星形线”, 可显示星形线的生成及参数的几何意义, 演示结束自动返回.