7.1-7.2(平面图形的面积).PPTVIP

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* 上连续, 与直线 所围成的 思考: 则曲线 平面图形面积为 * 解 两曲线的交点 画草图, * 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 二、边界曲线由参数方程表示的面积公式 * 解 曲线的参数方程为 由对称性, 例 总面积等于4倍第一象限部分面积. 画图 例 * 解 面积 例 解 * 面积微元 曲边扇形的面积 三、极坐标系下平面图形的面积 由极坐标方程 给出的平面曲线 所围成的面积A. 和射线 曲边扇形 选 为积分变量 解 由对称性知总面积 例 求双纽线 所围平面图形的面积. 第一象限部分 解 利用对称性知 上半部分 例 画图 * * * * * 用定积分解决实际问题,应先明确两个问题: 第一,定积分能解决哪类问题?(共性) 第二,用定积分解决这类问题方法的关键是什么? §7.1 微元法的基本思想 第7章 定积分的应用 * 结合曲边梯形面积的计算 可知, 用定积分计算的量 应具有如下 及定积分的定义 许多部分区间, (即把[a, b]分成 特点: (1) 所求量I 与变量x所在区间[a, b]有关; (2) I 在[a, b]上具有可加性. 则I 相应地分成许多部分量, 而I 等于所有部分量之和) (3)部分量 的近似值可表示为 . * 按定义建立积分式有四步曲: “分割、 对应用问题来说关键就在于如何写出 被积表达式. 得到 记为 称为量 I 的 微元或元素. 取近似、 求和、 取极限 ”, * 曲边梯形的面积: * 这种简化了的建立积分式的方法称为 元素法或微元法. 简化步骤 则 * 变速直线运动的路程 速度 所经过的路程: 路程微元 选 为积分变量 时间段 所经过的路程: 时间段 的路程: 应用方向:   平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长;路程;功;水压力;引力等. * §7.2 平面图形的面积 一、直角坐标系情形 三、极坐标系情形 二、边界曲线由参数方程表示的面积公式 * 求这两条曲线 及直线 所围成的区域的 面积A. 面积微元dA为 (1) 即 一、直角坐标系中图形的面积 小区间 选 为积分变量 * 解 两曲线的交点 面积微元 选 为积分变量 例 问题: 积分变量只能选 吗? * (2) 由曲线 和直线 所围成的区域的 面积A. 面积微元dA为 小区间 选y为积分变量, * 解2 两曲线的交点 面积微元 选 为积分变量 例 * 例 解 画草图, 求两曲线交点的坐标以便 解方程组 交点 面积微元 法1 选 为积分变量, 确定积分限, * 法2 选y为积分变量, 面积微元 * * 解 两曲线的交点 选 为积分变量 * –2 。 。 0 y x 4 4 –4 解方程组: 得交点:(8, 4), (2,–2) 问题:选谁为积分变量? 求曲线 与 围成的面积. * * * *

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